4. 自由空间损耗建模

在星地量子通信链路中，光子从卫星平台发射、穿越大气层、到达地面接收站，即使不考虑大气吸收、散射和湍流，仅因波前在空间中球面扩散，能量密度就会随距离迅速下降。这一部分损耗称为自由空间损耗（Free Space Path Loss，FSPL），是链路预算中最基础、量级最大的一项。本节从Friis传输公式出发，推导星地链路的自由空间损耗模型，并分析不同轨道高度下的损耗量级与变化趋势。

一、Friis传输公式与损耗定义

Friis传输公式描述的是两个天线在自由空间中、远场条件下、极化匹配且阻抗匹配时的接收功率与发射功率之比：

P_r / P_t = G_t · G_r · (λ / (4πd))²

其中 P_t 为发射功率，P_r 为接收功率，G_t、G_r 分别为发射与接收天线增益（线性值），λ 为工作波长，d 为收发天线之间的直线距离。括号内 λ/(4πd) 即自由空间扩散因子，其平方体现了功率随距离平方衰减的规律。

将上式取倒数并转为分贝，即得到自由空间损耗的标准表达式：

L_FS(dB) = 10·log10(P_t / P_r)
         = 20·log10(4πd / λ) − G_t(dBi) − G_r(dBi)

需要注意符号约定：本文中 L_FS 取正值表示损耗，链路预算中作为减项从发射端扣除。若把天线增益单独列出，则纯几何扩散项为 20·log10(4πd/λ)，它只与距离和波长有关；天线增益则作为“补偿项”降低净损耗。星地链路中，卫星侧通常使用口径受限的望远镜（增益有限），地面站可使用较大口径接收望远镜，因此 G_r 往往显著大于 G_t，这是星地链路设计的重要杠杆。

二、星地链路的距离与波长代入

星地链路的距离 d 并非固定值，而是随轨道高度 h、地面站与星下点之间的天顶角 θ 变化。设地球半径为 R_E ≈ 6371 km，则卫星到地面站的斜距可写为：

d(θ) = sqrt((R_E + h)² − R_E²·sin²θ) − R_E·cosθ

当 θ = 0（卫星位于地面站正上方）时，d = h，即最小斜距；随着 θ 增大，斜距单调增加，当卫星接近地平线时斜距趋于最大。这一几何关系决定了同一轨道高度下损耗的动态范围，是星地链路与地面光纤链路最本质的差别之一。

波长方面，量子通信常用波段包括 850 nm、1064 nm 以及电信波段 1550 nm。以 1550 nm 为例，λ = 1.55×10⁻⁶ m，则 4π/λ ≈ 8.11×10⁶ m⁻¹，即每米距离贡献约 138.2 dB 的几何扩散常数项。代入常用工程近似式：

L_FS(dB) ≈ 20·log10(d_km) + 20·log10(f_GHz) + 92.45

其中 f = c/λ。对 1550 nm，f ≈ 193.4 THz = 193400 GHz，20·log10(193400) ≈ 105.7 dB，于是 L_FS ≈ 20·log10(d_km) + 198.2 dB（未扣天线增益）。可见光波段自由空间损耗的常数项远高于微波，这正是星地量子链路必须依赖高增益望远镜和单光子探测的原因。

三、不同轨道高度下的损耗量级

下面给出一个教学示例：假设星上发射望远镜口径 0.15 m、地面接收望远镜口径 1.0 m，工作波长 1550 nm，天线效率按 0.7 估算，则增益可由 G = η·(πD/λ)² 计算。星上 G_t ≈ 0.7×(π×0.15/1.55e-6)² ≈ 6.4×10⁹，即约 98.1 dBi；地面 G_r ≈ 0.7×(π×1.0/1.55e-6)² ≈ 2.87×10¹¹，即约 114.6 dBi。两者合计约 212.7 dB，可抵消大部分几何扩散项。

表中数值为按上述示例参数估算的结果，仅用于说明量级，实际链路需按真实口径、效率、波长和仰角重新计算。可以看到：从 500 km 到 35786 km，距离增加约 71.6 倍，几何扩散项增加 20·log10(71.6) ≈ 37.1 dB；而净损耗从约 39.5 dB 增至约 76.6 dB，同样增加约 37 dB。这说明自由空间损耗随距离呈对数增长，每距离增大 10 倍，损耗增加 20 dB。

四、变化趋势与工程含义

从趋势上看，星地自由空间损耗有三个值得关注的特征。第一，对数压缩效应：LEO 到 GEO 距离跨越近两个数量级，但损耗只增加约 37 dB，相比几何扩散项的绝对数值（250～290 dB）并不算剧烈，因此天线增益和探测灵敏度才是决定链路可行性的关键。第二，仰角引起的动态范围：以 500 km 轨道为例，天顶角从 0° 增至 70° 时，斜距由 500 km 增至约 1060 km，损耗增加约 6.5 dB；低仰角段损耗上升更快，实际跟踪中需按仰角实时修正链路预算。第三，波长选择的权衡：波长缩短一半，几何扩散项增加 6 dB，但同样口径下天线增益也增加 6 dB，二者在净损耗中相互抵消，因此波长选择更多取决于探测器效率、大气透过率和背景噪声，而非自由空间损耗本身。

在工程实践中，自由空间损耗模型通常作为链路预算表的第一行输入。以 500 km LEO、1550 nm、上述示例口径为例，净自由空间损耗约 39.5 dB；若单光子探测器量子效率 80%（约 −1 dB）、光学系统附加损耗 3 dB、大气透过率 0.6（约 2.2 dB），则链路总损耗约 45.7 dB。若发射平均光子数每脉冲 0.1 个（−10 dB），接收端每脉冲平均仅约 2.7×10⁻⁶ 个光子，必须依靠高重频和符合计数积累统计量。这一估算说明：自由空间损耗虽随距离对数增长，但真正压缩链路余量的往往是探测器效率、光学损耗和大气衰减，因此建模时应把 FSPL 与这些项分开列写，便于逐项优化。

综上，星地自由空间损耗模型的核心是 Friis 公式的平方反比律：几何扩散项由距离与波长决定，天线增益作为补偿项参与净损耗计算。不同轨道高度带来的损耗差异约几十 dB，呈对数增长；而仰角变化、波长选择和口径设计则决定了同一轨道下的链路余量分配。掌握这一模型，是后续叠加大气衰减、背景噪声和探测效率、完成完整星地量子链路预算的前提。