3. 星地链路几何与轨道动力学基础

星地量子通信的链路损耗，首先由“几何”决定。卫星在什么轨道上、地面站在什么纬度、两者在什么时刻相对什么位置，直接决定了链路距离、仰角、相对速度，进而影响自由空间损耗、光束发散、指向误差和大气路径。本节从轨道参数出发，建立“轨道—可见性—距离时变—损耗与指向”的几何链条，为后续信道建模提供输入。

一、三类轨道的几何特征

按轨道高度，常用卫星轨道分为低轨（LEO，约 300～2000 km）、中轨（MEO，约 2000～20000 km，典型如 GPS 约 20200 km、伽利略约 23222 km）和地球静止轨道（GEO，约 35786 km）。对量子通信而言，关键差异体现在三方面：单次链路距离、可见时长与相对角速度。

LEO 卫星单次过境可见时间通常只有几分钟到十几分钟，链路距离在数百至两千多公里量级变化剧烈，相对角速度大，对跟瞄系统的动态响应要求最高；GEO 卫星相对地面静止，链路距离基本恒定在约 3.6 万公里以上，可见性长期稳定，但自由空间损耗比 LEO 高出约 20～30 dB；MEO 介于两者之间，可见时长可达数小时，距离和角速度中等。选择轨道本质是在“损耗—时长—动态性”之间做权衡。

二、地面站可见性与仰角约束

卫星并非总在可见范围内。设地球半径 $R_E$、轨道高度 $h$、地面站与星下点地心角为 $\gamma$，则卫星到地面站的距离 $d$ 与仰角 $\theta$ 满足几何关系：

d = sqrt(R_E² + (R_E+h)² - 2·R_E·(R_E+h)·cosγ)
cosγ = R_E / (R_E+h) · cosθ  （由仰角反解地心角）

工程上通常设定最低仰角门限（如 10°、15° 或 20°），低于门限时大气路径过长、湍流与云层影响加剧，且易被地形遮挡。以 500 km 的 LEO 为例，仰角 10° 时斜距约 1900 km，仰角 90°（天顶）时约 500 km，两者自由空间损耗相差约 11.6 dB。可见性窗口就是仰角从门限升到最高再降回门限的时间段，它决定了可用于密钥分发的有效时长。

三、链路距离的时变规律

对 LEO，距离随时间呈“U 形”变化：过境初期斜距大、仰角低，随后快速缩短至天顶附近的最小值，再对称拉长。距离变化率在低仰角段最大，可达数 km/s，这正是多普勒频移和指向角速度最大的区间。对 GEO，距离近似恒定，仅因地面站纬度产生微小日变化；对 MEO，距离变化缓慢但幅度可观。

自由空间损耗 $L_{fs} = (4\pi d/\lambda)^2$，以 dB 表示为 $20\lg(4\pi d/\lambda)$。距离每翻一倍，损耗增加约 6 dB。因此 LEO 过境中，仅几何距离变化就能带来约 10 dB 以上的损耗起伏，建模时必须按时间序列逐点计算，而不能用单一平均值代替。

四、几何对指向误差的影响

指向误差来自两方面：一是卫星与地面站相对运动带来的角速度，二是跟瞄系统的跟踪滞后与抖动。设横向指向偏差为 $\delta$（单位 μrad），链路距离为 $d$，则光斑在接收端的横向偏移约为 $d\cdot\delta$。同样的 1 μrad 偏差，在 500 km 处仅造成 0.5 m 偏移，在 36000 km 处则达 36 m。因此 GEO 链路对指向精度的要求比 LEO 严苛得多，而 LEO 的挑战在于角速度大、跟踪带宽要求高。

此外，仰角越低，大气路径越长（近似按 $1/\sin\theta$ 增长），光束穿过湍流层的有效厚度增加，到达角起伏和光束漂移加剧，等效指向误差上升。所以低仰角段往往是链路性能最差的区间，建模时应将仰角作为指向误差与大气衰减的联合自变量。

五、建模时的几何输入清单

把上述关系落到建模流程，需要准备一组明确的几何输入，并按时间步长逐点计算。下面给出一个可直接参考的输入表结构（示例参数为合理假设，非实测）：

计算时先由轨道预报得到每个时刻的星下点与地面站地心角 $\gamma$，再解出仰角 $\theta$ 与斜距 $d$；若 $\theta<\theta_{min}$ 则标记为不可见。对可见段逐点计算 $L_{fs}$、大气路径因子与指向偏移，形成时间序列。判断建模是否合理的依据是：距离曲线应呈 U 形且与仰角曲线反相；损耗曲线应与距离曲线同形；低仰角段损耗与指向误差应明显抬升。若出现距离单调或损耗与距离趋势不一致，通常是坐标系或仰角反解公式用错。

综上，轨道参数给出几何骨架，可见性与仰角给出有效窗口，距离时变给出损耗起伏，角速度与距离共同决定指向误差量级。这四者构成星地量子信道衰减建模的几何输入层，后续的大气衰减、背景光与探测效率模型都应建立在这一层之上。