3. 一维定态问题的解析基准

数值求解薛定谔方程时，最危险的情形不是算不出来，而是算出了一个看起来平滑、实际上已经偏离真解的曲线。要判断数值结果是否可信，必须有一组“标准答案”作为对照。一维定态问题中恰好存在三类可严格解析求解、又分别代表不同物理机制的模型：无限深势阱、谐振子和隧穿势垒。它们构成数值方法的基准测试集，分别检验边界条件处理、本征值收敛性和指数衰减区的精度。

三类基准的物理定位

无限深势阱的势能定义为 V(x)=0 (0<x<L)，其余区域为无穷大。波函数在边界处必须为零，解为 ψₙ(x)=√(2/L)·sin(nπx/L)，本征能量 Eₙ=n²π²ħ²/(2mL²)。它的核心特征是能级按 n² 增长、波函数节点数等于 n−1，数值方法若不能复现这一结构，说明边界条件或网格划分有误。

谐振子势 V(x)=½mω²x² 的解为 Eₙ=(n+½)ħω，能级等间距，波函数在经典禁区呈高斯型衰减。它检验的是数值方法在无穷远边界截断下的处理能力：截断距离不够大，高激发态会被“压扁”；截断过大而网格不足，则衰减区分辨率丢失。

隧穿势垒则引入连续谱与散射态。以方势垒 V(x)=V₀ (0<x<a) 为例，当 E<V₀ 时透射系数有解析式 T=[1+(V₀²sinh²(κa))/(4E(V₀−E))]⁻¹，其中 κ=√(2m(V₀−E))/ħ。它检验数值方法能否正确刻画波函数在势垒内的指数衰减，以及透射系数跨越十几个数量级时的相对精度。

用解析解做数值验证的具体做法

以无限深势阱为例，设 ħ=m=L=1，则 Eₙ=n²π²/2，基态能量约 4.9348。若采用有限差分法，把区间 [0,1] 离散为 N 个内点，步长 h=1/(N+1)，哈密顿矩阵为三对角形式，对角元 2/h²，次对角元 −1/h²。对 N=99、199、399 分别求最小几个本征值，与解析值比较，可以观察误差随 h² 的收敛行为。一个合理的预期是：基态相对误差大致按 h² 缩小，N 翻倍时误差约降为四分之一。如果实际收敛阶明显偏离 2，就要检查矩阵装配或边界处理。

谐振子的验证更强调截断域的选择。取 ħ=m=ω=1，解析能级为 n+0.5。经典转折点位于 x=√(2n+1)，对 n=5 约为 3.32。若把计算域截断在 [−5,5]，高激发态波函数尾部已被压到接近零，边界条件近似合理；若截断在 [−3,3]，n=5 的波函数在边界处仍有可观幅度，强制为零会抬高本征值。通过对比不同截断距离下 E₅ 的漂移量，可以定量判断“域够不够大”，而不是凭感觉设定。

隧穿势垒的验证重点在相对误差而非绝对误差。取 m=1、ħ=1、V₀=1、a=1，当 E=0.5 时 κ=√0.5≈0.7071，κa≈0.7071，解析透射系数约为 0.693。当 E 降到 0.1 时，κ≈0.9487，T 降至约 0.19；E=0.01 时 T 已小到约 0.0027。数值上若用打靶法或转移矩阵法，需要保证垒内至少若干个网格点覆盖衰减长度 1/κ。当 T 小到 10⁻⁶ 量级时，绝对误差看似很小，相对误差却可能很大，因此应以 |T_num−T_exact|/T_exact 作为判据。

基准选择与误差判据的对应关系

三类模型并非等价，它们各自暴露不同类型的数值缺陷。无限深势阱对边界条件最敏感，适合检验离散化格式与边界实施；谐振子对计算域截断最敏感，适合检验无穷远边界的近似策略；隧穿势垒对动态范围和衰减区分辨率最敏感，适合检验小量透射系数的计算稳定性。实际工作中，应至少保留一个“强约束”基准（如势阱的节点结构）和一个“弱信号”基准（如深隧穿的 T 值），前者防止结构性错误，后者防止精度虚高。

需要强调的是，解析基准的作用不是证明某个程序“正确”，而是给出可量化的偏差标尺。当数值结果与解析解的偏差落在预期收敛阶所允许的范围内，才能认为该方法在当前参数下可信；一旦超出，应优先排查网格分辨率、截断距离和边界条件，而不是急于调整算法。把这三类精确解作为固定回归用例，是薛定谔方程数值求解中最经济、也最有效的误差控制手段。