1. 课程导入与问题界定

薛定谔方程是量子力学的运动方程，但在绝大多数实际势场中，它没有解析解。一维方势阱、谐振子、氢原子这类问题可以手算，而双势阱隧穿、含时外场驱动、多体相互作用、无序势中的局域化等问题，只能依靠数值方法。本课程的目标不是推导方程，而是建立一套可复现的求解流程：给定势场与边界条件，选择离散格式，控制误差，并对结果给出可信度判断。

先明确约定。本课程统一采用一维定态形式

-ħ²/(2m) · d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ

坐标 x 向右为正，波函数在无穷远处趋于零；束缚态能量 E 为实数且离散。含时部分采用 iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ，时间正向演化。所有图示与公式均遵循这一约定，后续章节不再重复说明。

核心挑战：三个互相牵制的量

数值求解薛定谔方程，本质是在三个量之间做权衡：空间离散步长 h、计算域长度 L、能量精度要求。步长越小，二阶差分对曲率的近似越好，但矩阵维度按 1/h 增长；计算域越长，越能容纳衰减缓慢的波函数尾部，但同样增加维度；而高激发态波函数振荡剧烈，对 h 的要求比基态苛刻得多。一个常见的教学示例是无限深方势阱：取 L=1（原子单位），基态能量解析值为 π²/2 ≈ 4.9348。若用 N=100 个格点、h=0.01 的中心差分，基态能量误差约在 10⁻⁴ 量级；而第 10 个激发态误差会放大约两个数量级。这说明“一套参数打天下”是不可行的，必须先估计目标态的空间频率。

第二个挑战来自边界。真实束缚态在边界处应指数衰减，但数值上只能截断。若把边界强制为零（狄利克雷条件），相当于把粒子关进一个更大的盒子，能量会被系统性抬高；若截断位置太近，波函数尾部被削掉，能量偏低或出现虚假振荡。合理做法是让 L 至少覆盖波函数衰减到 10⁻⁶ 量级的位置，并在收敛性测试中检查 L 加倍后能量是否稳定。

第三个挑战是算法选择与误差传播的耦合。打靶法实现简单，但对初值敏感，高激发态容易漏根；有限差分加矩阵对角化稳健，但存储为 O(N²)；有限元在复杂势场中灵活，但组装成本高；虚时演化适合求基态，却难以直接给出激发态。方法本身没有绝对优劣，关键在于误差是否可控、是否可诊断。

误差来源分类

把误差拆开看，才能逐项压制。按来源可分为四类：

• 截断误差：差分公式用有限项近似导数，h² 项被丢弃。它随 h 减小而下降，但受浮点舍入限制，h 过小反而使总误差回升。
• 边界误差：计算域截断与边界条件近似引入的系统偏差，通常表现为能量整体平移，可通过 L 收敛测试识别。
• 迭代与舍入误差：本征求解器的收敛容差、矩阵条件数、双精度舍入共同决定。病态矩阵会让小残差对应大能量偏差。
• 模型误差：势场本身被简化（如把软势近似为硬壁）、有效质量取常数、忽略自旋轨道耦合等，这类误差不会因加密网格而消失。

下图把求解流程与四类误差的作用位置对应起来，便于在排障时定位问题出在哪一环。

一个可操作的误差诊断示例

以谐振子 V(x)=½ω²x²（取 m=1、ω=1）为例，解析能级为 Eₙ=n+½。假设用 N=400、L=12 的中心差分求解前 5 个能级，得到基态 E₀≈0.5003、第四激发态 E₄≈4.503。此时可做两步检验：把 L 从 12 增到 24，若 E₀ 变化小于 10⁻⁶，说明边界误差已压到可接受水平；再把 N 从 400 增到 800，若 E₄ 的变化约为 E₀ 变化的 16 倍（高激发态对 h 更敏感），则符合二阶收敛预期。若某一步变化异常大或符号反转，应优先怀疑矩阵组装错误或边界条件施加位置错误，而不是继续加密网格。

课程路线图

后续内容按“从静到动、从简到繁、从算到判”组织。第一阶段建立定态问题的离散与求解能力：有限差分矩阵法、打靶法、边界条件处理与能级排序。第二阶段进入含时演化：Crank–Nicolson 格式的酉性、时间步长与相位误差、波包传播与概率守恒检验。第三阶段处理实际复杂情形：有限元与非均匀网格、虚时演化求基态、高激发态的正交化策略。第四阶段聚焦误差控制与验证：收敛阶实测、残差监控、解析基准对比、常见病态案例排障。每一阶段都要求给出可复现的参数、可观察的中间量和明确的判据，而不是只跑出图就结束。

学习本课程不需要预先掌握高等数值分析，但需要熟悉线性代数中的本征值问题、微积分中的泰勒展开，以及至少一种科学计算语言（Python/NumPy、MATLAB 或 Julia 均可）。所有示例参数都会明确标注为教学设定，读者应把它们当作可修改的起点，而非唯一正确答案。