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薛定谔方程数值求解与误差控制

共计 30 章节
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01
课程导入与问题界定
薛定谔方程数值求解的核心挑战 · 误差来源分类与课程路线图
课程导入问题界定
02
量子力学基础回顾
波函数 · 算符 · 本征值问题与含时/定态薛定谔方程的标…
量子力学基础回顾波函数
03
一维定态问题的解析基准
无限深势阱 · 谐振子与隧穿势垒的精确解及其数值验证…
一维定态问题的解…无限深势阱
04
空间离散化方法
有限差分法构造哈密顿矩阵 · 边界条件处理与网格收敛性分析
空间离散化方法有限差分法构造哈…
05
有限差分法的截断误差与修正
泰勒展开余项 · 高阶差分格式与紧致差分格式的误差比较
有限差分法的截断…修正
06
变分法与基函数展开
平面波基 · 高斯基与有限元基的选取原则及基组截断…
变分法基函数展开
07
矩阵本征值求解器实战
Lanczos/Arnoldi迭代法 · 移位反迭代与稠密/稀疏矩阵求解器的误…
矩阵本征值求解器…Lanczos/Arno…
08
含时薛定谔方程的显式格式
前向欧拉 · Crank-Nicolson与分裂算…
含时薛定谔方程的…前向欧拉
09
时间传播子的近似与误差
Magnus展开 · 指数积分器与高阶传播子的局部/全局误…
时间传播子的近似误差
10
吸收边界与伪谱方法
复吸收势 · 完美匹配层与傅里叶伪谱法的混叠误差控…
吸收边界伪谱方法
11
二维/三维定态问题
交替方向隐式法 · 稀疏矩阵存储与迭代求解器的收敛性调优
二维三维定态问题
12
本征值问题的误差估计
残差范数 · 后验误差界与特征值条件数的数值诊断
本征值问题的误差…残差范数
13
波包传播的数值色散与耗散
群速度误差 · 相位误差与长时间模拟的保真度评估
波包传播的数值色…耗散
14
非线性薛定谔方程的数值求解
分裂步傅里叶法 · 守恒量监测与孤子传播的误差控制
非线性薛定谔方程…分裂步傅里叶法
15
含时问题的守恒律与辛结构
概率守恒 · 能量守恒与辛积分器的长期稳定性验证
含时问题的守恒律辛结构
16
自适应网格与移动网格技术
基于后验误差估计的网格细化与波包跟踪…
自适应网格移动网格技术
17
高维问题的张量网络方法
矩阵乘积态表示 · DMRG求解本征态与截断误差的传播控…
高维问题的张量网…矩阵乘积态表示
18
量子隧穿与散射问题的数值处理
入射边界条件 · 复能本征值与共振态的数值提取
量子隧穿散射问题的数值处…
19
误差传播与条件数分析
离散化误差 · 舍入误差与算法误差的交互作用及稳定性…
误差传播条件数分析
20
后验误差估计与自适应时间步长
嵌入式Runge-Kutta对 · 局部误差控制与步长调整策略
后验误差估计自适应时间步长
21
谱方法的精度与误差
Chebyshev配置法 · 谱收敛性与非光滑势的吉布斯现象抑制
谱方法的精度误差
22
机器学习辅助的数值求解
神经网络波函数拟设 · 物理信息神经网络与误差评估框架
机器学习辅助的数…神经网络波函数拟…
23
并行计算与GPU加速
区域分解 · FFT并行化与大规模本征值问题的性能…
GPU并行计算
24
基准测试与验证套件
标准测试问题库 · 收敛阶验证与交叉方法对比的实践流程
基准测试验证套件
25
可视化与诊断工具
波函数/概率密度可视化 · 误差热图与收敛曲线的交互式分析
可视化诊断工具
26
真实案例
量子阱激光器的能带计算——从网格设计…
真实案例量子阱激光器的能…
27
真实案例
冷原子波包在光晶格中的传播——长时间…
真实案例冷原子波包
28
真实案例
分子振动能级的变分计算——基组优化与…
真实案例分子振动能级的变…
29
真实案例
非线性光纤中的孤子演化——分裂步傅里…
真实案例非线性光纤
30
课程综合与误差控制最佳实践
误差预算制定 · 验证与确认流程及可复现研究规范
课程综合误差控制最佳实践