3. 制导律设计的问题描述

制导律设计的本质，是构造一个从“当前飞行状态与期望任务轨迹”到“控制输入”的映射。这个映射不是凭空写出的公式，而是由任务轨迹、动力学模型、约束条件和性能指标共同约束出来的。理解这一映射的构成，是后续推导比例导引、最优制导、滑模制导等具体律的前提。本节把制导律设计问题拆成五个相互咬合的要素：任务轨迹、状态空间模型、约束条件、终端约束和性能泛函，并说明它们如何共同决定控制输入。

一、任务轨迹：期望状态的时变描述

任务轨迹是制导系统的“目标答案”。它通常以位置、速度、加速度关于时间的函数给出，记为 r_d(t)、v_d(t)、a_d(t)。在航天器交会、拦截或着陆任务中，任务轨迹可能由地面规划系统生成，也可能由相对运动方程解析给出。例如，在近圆轨道交会中，常采用C-W方程描述相对运动，任务轨迹可写成相对位置随时间的多项式或正弦形式。

任务轨迹必须满足两个基本要求：一是物理可实现性，即轨迹对应的加速度不能超过执行机构能力；二是可跟踪性，即轨迹不能包含制导系统带宽无法响应的剧烈变化。若任务轨迹本身不可实现，再好的制导律也无法跟踪。因此，设计前通常先对任务轨迹做一次“可行性检查”，确认其速度、加速度峰值在允许范围内。

二、状态空间建模：把动力学写成标准形式

制导律设计需要统一的数学模型。通常取状态向量 x = [r, v]^T，其中 r 为位置，v 为速度。连续时间状态方程为：

x_dot = A x + B u + d
y = C x

其中 u 为控制输入（推力或加速度指令），d 为外部扰动（如J2摄动、大气阻力、推力偏差），A、B、C 由具体动力学决定。以近圆轨道相对运动为例，C-W方程对应的状态矩阵为：

A = [0 0 0 1 0 0;
     0 0 0 0 1 0;
     0 0 0 0 0 1;
     3n^2 0 0 0 2n 0;
     0 0 0 -2n 0 0;
     0 0 -n^2 0 0 0]
B = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 0;
     1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]

这里 n 为轨道角速度。状态空间建模的关键在于：把非线性动力学在标称轨迹附近线性化，得到线性时变或线性时不变模型。若任务轨迹偏离标称点较远，则需要保留非线性项，或采用分段线性化。建模精度直接决定制导律的跟踪误差，因此必须明确模型适用范围和线性化误差量级。

三、约束条件：控制输入与状态的可行域

约束条件分为控制约束和状态约束两类。控制约束最常见的是推力幅值约束 |u| ≤ u_max，以及推力变化率约束 |u_dot| ≤ u_dot_max。状态约束包括位置不能进入禁飞区、速度不能超过结构限制、相对距离不能小于安全阈值等。在数学上，这些约束可写成不等式：

g(x, u, t) ≤ 0

约束的存在使制导问题从“无约束最优控制”变为“约束最优控制”。例如，当推力饱和时，制导律必须进入“最大推力段”，此时控制输入不再由反馈律决定，而是取边界值。设计时必须判断：在任务轨迹的哪些时段，约束是激活的；激活时段内，制导律是否仍能保证终端精度。若不能，则需要调整任务轨迹或放宽约束。

四、终端约束：任务完成的硬指标

终端约束描述任务结束时状态必须满足的条件。交会任务通常要求终端相对位置和相对速度同时为零：

r(t_f) = 0
v(t_f) = 0

拦截任务则只要求位置重合，对速度不作要求，甚至允许较大的相对速度。着陆任务要求终端速度小于安全值、姿态角在允许范围内。终端约束是制导律设计的“硬边界”，它决定了制导律的终端收敛特性。若终端约束不可满足，则问题无解；若终端约束过强，则可能导致控制输入在终端附近饱和或振荡。

五、性能泛函：在可行解中选最优

满足约束的制导律通常不止一个，性能泛函用于从中选出“最好”的那个。常见形式为：

J = φ(x(t_f)) + ∫[t_0, t_f] L(x, u, t) dt

其中 φ 为终端代价，L 为过程代价。典型选择包括：燃料最优 L = |u|、能量最优 L = u^T u、时间最优 L = 1、跟踪误差最优 L = (x - x_d)^T Q (x - x_d) + u^T R u。权重矩阵 Q 和 R 决定跟踪精度与控制代价的权衡：Q 越大，制导律越倾向于减小跟踪误差；R 越大，越倾向于节省控制能量。

六、从问题描述到控制输入的映射关系

把上述五个要素放在一起，制导律设计问题可以表述为：在状态方程和约束条件下，寻找控制输入 u(t)，使系统从初始状态出发，在终端时刻满足终端约束，并使性能泛函最小。这个问题的解就是制导律。对于线性系统、二次型性能泛函和无约束情形，解为LQR形式：

u = -R^{-1} B^T P x

其中 P 为Riccati方程的解。对于有约束情形，解通常由最优控制理论或模型预测控制给出。无论哪种形式，控制输入都是当前状态、期望轨迹和约束条件的函数。

七、一个可执行的参数示例

为便于理解，给出一个近圆轨道交会的简化示例。设轨道角速度 n = 0.0011 rad/s（约500 km高度），初始相对位置 r0 = [1000, 500, 200] m，初始相对速度 v0 = [0, 0, 0] m/s，终端时刻 t_f = 600 s，要求终端相对位置和速度均为零。推力幅值约束 u_max = 0.05 m/s²，性能泛函取能量最优 J = ∫ u^T u dt。

在此设定下，可先判断约束是否激活：若采用连续推力，所需平均加速度约为 2*r0/t_f² ≈ 2*1000/360000 ≈ 0.0056 m/s²，远小于 u_max，因此推力约束不激活，问题退化为无约束最优控制。此时可用LQR或最优控制解析解求解，得到控制输入为时间的函数。若把 t_f 缩短到 120 s，所需平均加速度约为 0.14 m/s²，超过 u_max，推力约束激活，必须采用“最大推力—滑行—最大推力”的开关式控制，此时终端精度会受开关时刻误差影响，需要额外设计终端修正段。