2. 航天器轨道与姿态动力学基础
制导律设计与轨迹跟踪，本质上是在“预测运动”和“修正运动”之间做闭环。要预测运动，就必须先有可靠的动力学模型；要修正运动，就必须知道当前状态相对目标状态的偏差。本节围绕二体问题、轨道六根数、坐标系定义、姿态运动学与动力学方程展开，重点说明这些基础模型在制导中到底“用在哪、怎么用”。
一、二体问题：轨道运动的基准模型
二体问题假设航天器与中心天体是仅受万有引力作用的两个质点，忽略其他摄动。其运动方程为：
r̈ = -μ · r / |r|³其中 r 为航天器相对中心天体的位置矢量，μ 为中心天体引力常数。该方程给出两个重要结论：轨道面在惯性空间中固定不变；比机械能 ε = v²/2 − μ/r 与比角动量 h = r × v 守恒。制导中常用这两个守恒量做快速校验：若数值积分得到的 ε 或 h 随时间明显漂移，说明积分步长或模型有问题。
由二体问题可导出轨道方程 r = p / (1 + e·cosν)，p = h²/μ 为半通径，e 为偏心率，ν 为真近点角。近圆轨道下 e≈0，r≈p；椭圆轨道下 e∈(0,1)，近地点 ν=0、远地点 ν=π。制导中若目标轨道为近圆轨道，常以平均角速度 n = √(μ/a³) 近似轨道角速度，用于相位保持和交会窗口估算。
二、轨道六根数：把状态变成可读参数
位置和速度共 6 个分量，直接比较不直观。轨道六根数把同一状态转换为 6 个具有明确几何意义的参数：半长轴 a、偏心率 e、轨道倾角 i、升交点赤经 Ω、近地点幅角 ω、真近点角 ν。前 5 个确定轨道形状与空间朝向，ν 确定航天器在轨道上的瞬时位置。
在制导中，六根数常用于三类判断：一是判断当前轨道与目标轨道的差异属于“形状差异”还是“朝向差异”；二是计算单次脉冲机动所需的速度增量；三是判断交会窗口。例如，若仅 a 不同而 e、i、Ω、ω 接近，则属于共面近圆轨道的相位调整，可用切向脉冲改变 a，再等待相位漂移；若 i 或 Ω 差异较大，则必须安排平面内机动，速度代价显著更高。
三、坐标系定义：所有方程的共同前提
动力学方程的形式取决于坐标系。制导中常用的坐标系包括：地心惯性系（ECI）、地心固连系（ECEF）、轨道坐标系（RSW 或 LVLH）、本体坐标系。ECI 用于积分轨道动力学，因为二体方程在其中形式最简；ECEF 用于地面站可见性与地面轨迹计算；RSW 用于相对运动描述和交会制导；本体坐标系用于姿态动力学与执行机构指令生成。
坐标系切换必须明确旋转顺序和正方向。例如从 ECI 到 ECEF 需绕 Z 轴旋转地球自转角 θG；从 ECI 到 RSW 需先由 r、v 构造三轴：R 轴沿 r 方向，W 轴沿 h 方向，S 轴完成右手系。若旋转矩阵方向写反，相对速度符号会整体翻转，制导指令随之反向。因此工程实现中通常先写一个坐标变换测试用例：给定 r、v，验证变换后 |r| 不变、R 轴单位矢量与 r 同向。
四、姿态运动学与动力学方程
姿态描述常用四元数 q = [q₀, q₁, q₂, q₃]ᵀ，满足 |q|=1。运动学方程为：
q̇ = 0.5 · q ⊗ [0, ω]ᵀ其中 ω 为本体系相对惯性系的角速度。动力学方程（刚体）为：
J·ω̇ + ω × (J·ω) = TJ 为惯量矩阵，T 为控制力矩。制导中，姿态动力学的用途不是单独存在，而是与轨道制导耦合：轨道制导给出所需推力方向，姿态系统负责把本体轴对准该方向。若姿态跟踪存在稳态误差，推力方向就会偏离，轨道修正量随之产生偏差。因此实际设计中常把姿态控制带宽设为轨道控制带宽的 5～10 倍，使姿态回路近似“透明”。
五、在制导中的使用方式
把上述模型串起来，制导中的典型使用链路是：由 ECI 下的二体方程积分预测未来位置；用六根数比较当前与目标轨道，判断机动类型；在 RSW 下计算所需速度增量 Δv；将 Δv 方向转换到本体系，作为姿态指令；姿态动力学跟踪该方向，输出力矩；轨道动力学在推力作用下更新状态。每一步都依赖前一步的坐标系和符号约定一致。
本节给出的模型是后续制导律推导的基准。实际任务中还需叠加 J2 摄动、大气阻力、太阳光压等，但二体加刚体姿态的框架仍是分析制导稳定性和跟踪误差的起点。