3. 惯性导航系统误差建模

组合导航之所以需要状态估计，根本原因在于惯性导航本身会随时间漂移。要设计卡尔曼滤波器，就必须先把“漂移从哪来、如何传播、最终表现成什么”写成可计算的数学模型。本节围绕三条主线展开：惯性器件的误差特性、误差在导航方程中的传播规律，以及姿态、速度、位置三类误差状态的具体形式。

一、惯性器件的误差特性

陀螺仪测量的是载体相对惯性空间的角速度，加速度计测量的是比力。理想情况下，陀螺输出等于真实角速度，加计输出等于真实比力。实际器件存在两类误差：确定性误差和随机误差。

确定性误差包括零偏、标度因数误差和安装失准角。零偏是输入为零时的非零输出；标度因数误差使输出与输入的比值偏离标称值；安装失准角描述敏感轴与载体坐标系之间的不对准。这些误差可通过标定实验补偿，但补偿后仍有残差。

随机误差通常用随机过程描述。陀螺零偏常用一阶马尔可夫过程或随机游走建模，角度随机游走（ARW）反映白噪声积分后的角度漂移；加速度计零偏同样可用随机游走建模，速度随机游走（VRW）反映其白噪声积分后的速度误差。工程中常把零偏建模为随机游走状态，把白噪声作为过程噪声驱动，这样卡尔曼滤波器就能在线估计零偏。

二、惯导误差传播方程

惯导误差传播方程由姿态、速度、位置误差的微分方程组成，它们通过比力、地球自转和重力耦合在一起。在导航坐标系（本文取东北天ENU）下，姿态误差方程可写为：

δθ̇ = -ω_ie^n × δθ + δω_ib^b - C_b^n δω_ib^b

其中δθ为姿态误差角，ω_ie^n为地球自转在导航系下的投影，δω_ib^b为陀螺零偏与噪声。速度误差方程中，姿态误差会通过比力投影产生加速度误差：

δv̇ = -2ω_ie^n × δv + f^n × δθ + C_b^n δf^b + δg

这里f^n为比力在导航系下的投影，δf^b为加计零偏与噪声，δg为重力模型误差。位置误差方程则由速度误差积分得到：

δṗ = δv

这三个方程揭示了误差传播的核心机制：陀螺零偏先引起姿态误差，姿态误差通过比力耦合进速度误差，速度误差再积分成位置误差。因此姿态误差是惯导误差链的“源头”，抑制姿态漂移对组合导航尤为关键。

三、姿态误差模型

姿态误差通常用失准角δθ表示，即计算导航系与真实导航系之间的小角度旋转。在ENU系下，δθ的三个分量分别对应东向、北向、天向的失准角。姿态误差方程中，地球自转项-ω_ie^n×δθ体现了导航系本身随地球旋转带来的耦合；陀螺零偏ε_b直接驱动姿态误差增长。

若忽略地球自转和舒勒振荡，姿态误差近似为陀螺零偏的积分：δθ(t)≈ε_b·t。这意味着10°/h的零偏在1分钟内可产生约0.17°的姿态误差，在10分钟内约1.7°。对于需要高精度航向的应用，这一量级不可忽略。

四、速度误差与位置误差模型

速度误差方程中，-2ω_ie^n×δv为科里奥利耦合项，f^n×δθ为姿态误差通过比力产生的加速度误差，C_b^n δf^b为加计误差投影到导航系的结果，δg为重力误差。在中等精度应用中，科里奥利项和重力误差常可简化，但比力耦合项必须保留，因为它是姿态误差影响速度的主要通道。

位置误差方程δṗ=δv最为简单，但它是误差链的终点：速度误差积分即得位置误差。以1mg加计零偏为例，它产生约0.0098m/s²的加速度误差，积分10秒后速度误差约0.098m/s，再积分10秒位置误差约0.49m；若持续1分钟，位置误差可达约17.6m。这解释了为什么纯惯导在数十秒内就需要外部观测修正。

五、离散化与实现要点

连续误差方程需离散化后才能用于卡尔曼滤波。常用一阶近似：Φ_k≈I+F·Δt，其中F为误差方程的雅可比矩阵。对于15维状态，F矩阵中非零块包括：姿态误差对自身的-ω_ie^n×、对陀螺零偏的单位阵；速度误差对自身的-2ω_ie^n×、对姿态误差的f^n×、对加计零偏的C_b^n；位置误差对速度误差的单位阵；零偏状态对自身的零矩阵（随机游走）。

过程噪声阵Q由陀螺白噪声、加计白噪声和零偏随机游走噪声的功率谱密度构成。实际调参时，ARW和VRW决定姿态与速度的过程噪声强度，零偏不稳定性决定零偏状态的过程噪声。若Q设置过小，滤波器会过度信任惯导，导致GNSS观测被低估；若Q过大，则滤波结果抖动明显。工程上常先用Allan方差分析器件噪声参数，再据此设定Q的初值。

综上，惯性导航误差建模的核心是把器件误差、姿态误差、速度误差和位置误差用一组耦合微分方程统一描述。理解这条“陀螺零偏→姿态→比力→速度→位置”的传播链，以及加计零偏直接进入速度通道的并行路径，是后续卡尔曼滤波器设计、过程噪声整定和组合导航性能评估的基础。