2. 飞行器运动建模与坐标系
组合导航的核心任务，是把惯性、卫星、气压、磁等多源信息统一到同一个状态空间里做估计。而“统一”的第一步，就是让所有传感器数据、运动方程和误差模型都建立在同一套坐标与姿态描述之上。本节围绕四件事展开：常用坐标系的定义与转换、姿态的表示方法、飞行器运动学与动力学方程，以及导航状态向量的选取。它们共同决定了后续卡尔曼滤波中状态量如何定义、雅可比矩阵如何推导、量测方程如何写。
一、常用坐标系及其转换
飞行器导航中反复出现四类坐标系。地心惯性系（ECI，记作 i 系）原点在地心，坐标轴指向恒星，不随地球自转，是牛顿力学定律成立的基准，陀螺和加速度计的原始积分理论上应在此系或由其派生系中完成。地心地固系（ECEF，记作 e 系）原点同样在地心，但随地球一起转动，z 轴指向北极，x 轴指向本初子午线与赤道交点，卫星星历、地球重力模型通常在此系给出。导航系（记作 n 系）是局部水平坐标系，常用“北-东-地”（NED）约定：x 指北、y 指东、z 沿当地垂线指向地心，它随飞行器位置移动，是姿态角和速度最直观的表达系。机体系（记作 b 系）固连于飞行器，x 沿机头前向、y 沿右翼、z 沿机腹向下，是惯性器件安装和测量的直接参考。
转换关系可以串成一条链：i 系到 e 系由地球自转角 ωie 和时间决定；e 系到 n 系由当地纬度 L 和经度 λ 决定；n 系到 b 系由三个姿态角决定。以 NED 约定为例，位置转换可写为：
已知 L(纬度)、λ(经度)、h(高度)，地球长半轴 a=6378137 m，第一偏心率平方 e²=0.00669438
N = a / sqrt(1 - e²·sin²L) // 卯酉圈曲率半径
x_e = (N + h)·cosL·cosλ
y_e = (N + h)·cosL·sinλ
z_e = (N·(1 - e²) + h)·sinL
反向由 ECEF 求经纬高需要迭代，工程上常迭代 3～5 次即可收敛到毫米级。需要强调的是，方向约定一旦选定就必须全文一致：本文统一采用 NED 导航系、前右下机体系、右手定则，姿态角正方向按“绕轴逆时针为正”定义。若换用 ENU 或前左上机体系，所有姿态角符号和重力分量都会改变，这是组合导航实现中最常见的错误来源之一。
二、姿态表示方法
姿态描述有三种主流方式，各有取舍。欧拉角（横滚 φ、俯仰 θ、偏航 ψ）最直观，人机界面和飞行控制常用，但存在万向节死锁：当俯仰角接近 ±90° 时，横滚与偏航无法区分，且三角函数运算量大。方向余弦矩阵（DCM）用 3×3 正交矩阵表示，无奇异、可直接做向量旋转，但需要 9 个参数并周期性正交化。四元数用 4 个参数表示，无奇异、运算量小、适合递推积分，是惯性导航内部姿态更新的首选，缺点是物理直观性差，需要归一化。
三者可以互相转换。由欧拉角构造 n 系到 b 系的旋转矩阵（Z-Y-X 顺序，即先偏航、再俯仰、后横滚）：
R_nb = Rz(ψ)·Ry(θ)·Rx(φ)
四元数 q = [q0, q1, q2, q3] 与 DCM 的对应：
R = [1-2(q2²+q3²) 2(q1q2-q0q3) 2(q1q3+q0q2)
2(q1q2+q0q3) 1-2(q1²+q3²) 2(q2q3-q0q1)
2(q1q3-q0q2) 2(q2q3+q0q1) 1-2(q1²+q2²)]
姿态递推的核心是四元数微分方程 q̇ = 0.5·q ⊗ ωnbb，其中 ωnbb 是机体系相对导航系的角速度，需从陀螺测量 ωibb 中扣除地球自转和载体运动引起的导航系转动。这一步的精度直接决定纯惯导的姿态漂移率。
三、运动学与动力学方程
导航系下的速度方程是组合导航的“心脏”：
v̇_n = C_b^n · f_b - (2·ω_ie^n + ω_en^n) × v_n + g_n
其中 fb 是加速度计测量的比力，Cbn 是机体系到导航系的旋转矩阵，2ωien×vn 是哥氏加速度，ωenn×vn 是载体在地球曲面运动引起的向心项，gn 是重力矢量。位置方程则通过 L̇、λ̇、ḣ 与 vn 的关系给出。动力学方程描述力和力矩如何改变飞行器运动状态，对固定翼通常包含气动力、推力、重力和力矩平衡，对多旋翼则简化为推力矢量与姿态的代数关系。组合导航中，动力学方程主要用于构造过程模型约束，例如在 GNSS 失锁时用气动模型辅助抑制惯导发散。
四、导航状态向量选取
状态向量决定了滤波器“估计什么”。最基础的是 15 维误差状态：位置误差（3）、速度误差（3）、姿态误差（3）、陀螺零偏（3）、加速度计零偏（3）。若使用低成本 MEMS 器件，零偏不稳定，可扩展为 18 维或 21 维，加入零偏随机游走或比例因子误差。若做 GNSS/INS 紧组合，还需加入接收机钟差和钟漂，构成 17 维以上状态。状态选取的原则是：既要覆盖主要误差源，又要避免维数过高导致可观性下降和计算负担增加。
以某小型固定翼无人机为例，采用 ADIS16470 级 MEMS IMU，陀螺零偏稳定性约 8°/h，加速度计零偏约 0.1 mg。若只估计 15 维状态，零偏被当作常值，长时间飞行后姿态误差会因零偏漂移而累积；若扩展为 18 维，把零偏建模为一阶马尔可夫过程，滤波器可在 GNSS 有效时持续修正零偏估计，GNSS 失锁 30 s 内姿态误差可控制在 1° 以内。这一对比说明状态向量选取不是越多越好，而是要与器件特性和任务时长匹配。