3. 航迹表示与参考轨迹生成
航迹跟踪与自主导航的第一步，不是设计控制器，而是把“想飞的那条线”用数学语言准确表达出来。航迹表示方式决定了后续能否方便地计算切线方向、曲率、弧长，也决定了生成的参考轨迹是否满足无人机的最小转弯半径、最大爬升率与横向加速度限制。本节围绕航路点、B样条、多项式、Dubins与Clothoid五类表示方法，讨论其几何特性、平滑性、曲率约束以及可飞性检查方法。
一、从航路点到连续轨迹
最原始的航迹表示是航路点序列，例如 P0(0,0,50) → P1(200,0,60) → P2(400,150,80) → P3(600,150,80)，单位取米。航路点只给出离散位置，若直接用直线段连接，则在每个航路点处切线方向突变，曲率趋于无穷，无人机无法瞬时改变航向，实际飞行会出现“切角”或过冲。因此航路点通常作为约束点或控制点，需要经过插值或拟合转化为连续可微曲线。
评价一条参考轨迹是否“可飞”，核心看三个量：位置连续（C⁰）、切线连续（C¹）、曲率连续（C²）。曲率 κ 与转弯半径 R 的关系为 κ = 1/R，无人机受最大滚转角 φ_max 限制，其最小转弯半径 R_min = V²/(g·tanφ_max)。例如 V=20 m/s、φ_max=30°，则 R_min ≈ 20²/(9.81×0.577) ≈ 70.7 m，对应 κ_max ≈ 0.0141 m⁻¹。任何一段参考轨迹的曲率都必须满足 |κ| ≤ κ_max，否则跟踪控制器再优秀也无法精确跟随。
二、B样条与多项式表示
B样条用控制点 P_i 和节点向量定义曲线，k 阶（次数 p=k-1）B样条具有 C^{p-1} 连续性。三次B样条（p=3）天然 C² 连续，曲率连续，非常适合航迹平滑。其局部支撑性意味着移动一个控制点只影响相邻几段，便于在线调整避障。工程中常用准均匀节点向量，使曲线通过首末控制点，便于与起飞/着陆点对齐。
多项式表示则以时间或弧长为参数，常见五次多项式可同时约束位置、速度、加速度的边界条件，适合点到点的过渡段。例如从航路点 A 到 B，给定两端位置、速度、加速度共12个边界条件，可唯一确定五次多项式系数。多项式优点是解析求导方便、曲率易算；缺点是高阶多项式易出现龙格振荡，长距离多航路点场景下通常分段使用并保证连接处 C² 连续。
三、Dubins与Clothoid曲线
Dubins曲线解决的是“给定起点位姿和终点位姿、最小转弯半径，求最短可行路径”的问题，由圆弧（L或R）与直线（S）组合而成，共6种：LSL、LSR、RSL、RSR、RLR、LRL。它保证路径处处满足最小转弯半径，但圆弧与直线连接处曲率从 0 跳到 1/R，属于 C¹ 而非 C²，实际飞行中会产生横向加速度阶跃。
Clothoid（回旋线）的曲率随弧长线性变化，κ(s)=κ₀+σs，正好弥补Dubins的曲率突变。将Dubins的圆弧段替换为“直线—Clothoid—圆弧—Clothoid—直线”结构，可使曲率连续过渡，横向加速度平滑。代价是路径变长、求解更复杂，通常用数值积分或查表法生成。
四、平滑性与曲率约束的量化检查
生成参考轨迹后，必须做可飞性检查，而不是直接送入控制器。建议按以下顺序执行：
- 离散采样：以固定弧长步长 Δs（如 1 m）或时间步长 Δt（如 0.05 s）对曲线采样，得到位置序列。
- 数值求导：用中心差分计算切向量 T、曲率 κ。对参数曲线 r(t)，κ = |r'×r''| / |r'|³。
- 曲率约束检查：判断 max|κ| ≤ κ_max。若超限，需增大过渡半径、降低速度或改用Clothoid过渡。
- 爬升率检查：由高度序列计算 dh/dt，与无人机最大爬升率比较。
- 横向加速度检查：a_lat = V²·κ，应小于 a_lat,max（如 3 m/s²）。
以一段三次B样条为例，若采样得到最大曲率 κ=0.018 m⁻¹，而 κ_max=0.0141 m⁻¹，则超限约28%。此时可采取三种措施：将控制点间距拉大以降低弯曲程度；在曲率大的区段插入Clothoid过渡；或将该段飞行速度从20 m/s降至 V = √(a_lat,max/κ) = √(3/0.018) ≈ 12.9 m/s。
五、方法选择与工程建议
| 表示方法 | 连续性 | 曲率特性 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 航路点折线 | C⁰ | 无穷大尖峰 | 粗略任务规划、地面显示 |
| 三次B样条 | C² | 连续，局部可控 | 平滑航迹、在线避障调整 |
| 五次多项式 | C² | 连续，边界约束强 | 点到点过渡、起降段 |
| Dubins | C¹ | 圆弧段恒定，连接处跳变 | 最短路径、固定翼粗规划 |
| Clothoid | C² | 线性变化，过渡平滑 | 高精度跟踪、舒适飞行 |
综上，航迹表示的核心是在几何精度、平滑性、曲率约束与计算复杂度之间取得平衡。选择哪种表示，取决于无人机类型（多旋翼可悬停、固定翼需持续前飞）、任务阶段（巡航、避障、起降）以及跟踪控制器的能力。生成参考轨迹后，务必以数值方式验证曲率、爬升率和横向加速度，确保“画出来的线”真正“飞得出来”。