4. 相机外参矩阵

聊完了内参，咱们得把目光从相机内部挪到外部世界了。外参矩阵，说白了就是回答一个问题：相机在哪儿？它正朝着哪个方向看？

我刚开始接触标定时，总觉得内参才是核心，外参不就是个位置嘛。后来做多目视觉拼接项目，两台相机只差了几厘米，但外参没标准，拼接出来的图像直接错位。嗯，从那以后我再也不敢小看外参了。

4.1 刚体变换：世界坐标系到相机坐标系

想象一下，你手里拿着一个相机，站在一个房间里。房间里有个物体，它的位置是用世界坐标系描述的。但相机看到的，是它自己相机坐标系下的坐标。

从世界坐标到相机坐标，这个过程就是刚体变换。刚体变换意味着物体本身不会变形、不会缩放，只是被整体挪了个位置、转了个方向。说白了，就是旋转 + 平移。

这个公式，就是外参矩阵的数学灵魂。

4.2 旋转矩阵 R：三个轴的转动

旋转矩阵 R 描述了世界坐标系如何旋转，才能与相机坐标系的方向对齐。它是一个 3×3 的正交矩阵，行列式为 +1。

R 矩阵有 9 个元素，但自由度只有 3。为什么？因为旋转可以分解为绕 X、Y、Z 三个轴的转动，每个轴一个角度（欧拉角）。

旋转轴	角度符号	物理含义
绕 X 轴	α (roll)	相机左右倾斜（像歪头）
绕 Y 轴	β (pitch)	相机上下俯仰（像点头）
绕 Z 轴	γ (yaw)	相机左右摇头（像摇头）

我个人习惯用罗德里格斯公式把旋转向量转成矩阵，这样在优化时更方便。你想想看，9 个参数去优化，约束条件多麻烦；用 3 个参数，省心多了。

4.3 平移向量 t：相机的位置

平移向量 t 描述了世界坐标系原点，在相机坐标系下的位置。或者说，它表示了相机光心在世界坐标系中的位置（取负号后）。

t 是一个 3×1 的向量：

t = [tx, ty, tz]^T

每个分量代表相机在世界坐标系中，沿 X、Y、Z 方向的偏移量。单位是毫米（或米），取决于你的标定板尺寸单位。

这里有个容易混淆的点：公式 P_cam = R·P_world + t 中的 t，是世界原点在相机坐标系下的坐标，而不是相机在世界坐标系下的坐标。两者相差一个负号和旋转。

4.4 外参矩阵的齐次形式

为了方便计算，我们通常把旋转和平移合并成一个 4×4 的外参矩阵：

| R   t |
| 0   1 |

这样，世界坐标点 P_world = (X, Y, Z, 1)^T 乘以这个矩阵，就直接得到相机坐标下的齐次点。

整个投影流程就变成了：

1. 世界坐标 → 外参矩阵 → 相机坐标
2. 相机坐标 → 内参矩阵 → 像素坐标

合在一起，就是咱们第一章讲的那个 3×4 投影矩阵 P = K[R|t]。

4.5 外参矩阵的几何意义

外参矩阵的几何意义，我总结为三点：

• 定位：告诉你相机在世界中的位置和朝向
• 变换：把世界坐标系的点，映射到相机自己的坐标系里
• 关联：多相机系统中，外参矩阵把各个相机的视角统一到同一个世界坐标系下

做三维重建时，外参矩阵尤其重要。我记得有个项目，用 8 个相机环绕拍摄一个物体，每个相机的外参都要精确标定。只要有一个相机的旋转矩阵偏差 0.5 度，重建出来的模型就会出现裂缝。

4.6 知识结构图：外参矩阵全景

下面这张图，把外参矩阵的组成、变换流程和几何意义串在了一起。

_cam = R · P_world + t 相机位置 = -R^T · t

4.7 外参矩阵的标定方法

实际项目中，外参矩阵通常通过以下方式获得：

方法	适用场景	精度	操作复杂度
张正友标定法	单相机标定（同时获得内参和外参）	高	低
PnP 求解	已知内参，已知 3D-2D 对应点	中高	中
手眼标定	相机固定在机械臂上	高	高
多相机全局标定	多个相机共视同一标定物	中	高

我个人最常用的是张正友法配合PnP 精化。先用棋盘格标定出内参和每帧的外参初值，再用 PnP 做一次非线性优化，把重投影误差降到最低。

4.8 外参矩阵的典型应用

• 双目立体视觉：两个相机的外参矩阵，决定了极线约束和视差计算
• 视觉引导定位：机械臂抓取时，需要把相机坐标系下的目标位置，转换到机器人基坐标系
• SLAM 与 AR：实时估计相机的外参，实现虚拟物体与真实场景的对齐
• 多视角三维重建：每个视角的外参矩阵，决定了点云融合时的空间对齐

我记得做视觉引导项目时，外参标定花了整整两天。不是因为算法复杂，而是因为机械臂的坐标系定义和相机坐标系不一致，反复调试才对齐。所以，坐标系约定这件事，一定要在项目开始前就定死。