📚 课程目录第2章坐标系与变换

2. 坐标系与变换

做机器视觉，说白了就是让计算机看懂三维世界。但计算机只能处理二维图像。这中间差了什么呢？就是坐标系变换。

我个人习惯把这件事想成“翻译”。世界坐标系是客观存在的三维空间，相机坐标系是相机眼中的三维空间，图像坐标系是成像平面上的二维投影，像素坐标系是最终的数字图像。每一步都是一次翻译。

嗯，咱们一个一个来看。

2.1 四个坐标系，一个都不能少

先搞清楚这四个坐标系分别长什么样：

坐标系	维度	单位	原点位置	典型用途
世界坐标系	3D (X_w, Y_w, Z_w)	mm / m	用户自定义	描述物体在真实空间中的位置
相机坐标系	3D (X_c, Y_c, Z_c)	mm / m	相机光心	描述物体相对于相机的位置
图像坐标系	2D (x, y)	mm	图像中心（主点）	描述投影点在成像平面上的物理位置
像素坐标系	2D (u, v)	pixel	图像左上角	描述像素在数字图像中的行列位置

你想想看，一个三维点要变成像素坐标，得走四步。每一步都有对应的数学公式。我刚开始学的时候，总觉得这些公式很枯燥。直到有一次项目里标定板放歪了，结果测量尺寸差了2毫米……从那以后，我再也不敢轻视这些变换了。

2.2 世界坐标系 → 相机坐标系（刚体变换）

这一步是三维到三维的变换。说白了，就是把世界坐标系下的点，通过旋转和平移，挪到相机坐标系下。

公式很简单：

| Xc |   | R11 R12 R13 |   | Xw |   | Tx |
| Yc | = | R21 R22 R23 | * | Yw | + | Ty |
| Zc |   | R31 R32 R33 |   | Zw |   | Tz |

写成齐次坐标形式更简洁：

| Xc |   | R   T |   | Xw |
| Yc | = | 0   1 | * | Yw |
| Zc |   |       |   | Zw |
| 1  |   |       |   | 1  |

这里的 R 是 3×3 旋转矩阵，T 是 3×1 平移向量。合起来叫外参矩阵。

我的经验：外参矩阵决定了相机在世界坐标系中的位姿。实际标定时，我们通常用棋盘格标定板来解算外参。我曾经遇到一个案例，标定板固定不牢，每次标定结果都不一样。后来用磁吸底座固定，问题就解决了。

2.3 相机坐标系 → 图像坐标系（透视投影）

这一步是三维到二维的投影。用的是小孔成像模型。

公式也很直观：

x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc

其中 f 是焦距，单位是 mm。

这里有个关键点：Zc 在分母上。这意味着距离越远，成像越小。这就是透视效应。

注意：如果 Zc = 0，公式就失效了。实际中，物体不可能在相机光心位置，所以不用担心。但如果你用虚拟相机做仿真，要小心这个边界条件。

2.4 图像坐标系 → 像素坐标系（离散化）

这一步是把连续的物理坐标，变成离散的像素坐标。

公式：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

其中 dx、dy 是每个像素的物理尺寸（mm/pixel），(u0, v0) 是主点坐标（图像中心）。

写成矩阵形式：

| u |   | 1/dx  0    u0 |   | x |
| v | = | 0     1/dy v0 | * | y |
| 1 |   | 0     0    1  |   | 1 |

这部分叫内参矩阵的一部分。内参还包括焦距 f 和畸变参数。

    核心要点：内参矩阵是相机本身的属性，一旦相机和镜头固定，内参就不变了。外参矩阵则随相机位置变化而变化。标定的目的，就是同时求出内参和外参。

2.5 完整变换链：从世界到像素

把上面三步串起来，就是完整的投影方程：

| u |   | fx  0   u0  0 |   | R   T |   | Xw |
| v | = | 0   fy  v0  0 | * | 0   1 | * | Yw |
| 1 |   | 0   0   1   0 |   |       |   | Zw |
        |               |   |       |   | 1  |

其中 fx = f/dx，fy = f/dy，是像素焦距。

这个公式，就是整个相机标定的数学基础。你想想看，一个三维点，经过旋转、平移、投影、离散化，最终变成一个像素坐标。反过来，如果我们知道像素坐标和深度信息，就能反推出三维坐标。这就是三维重建的原理。

2.6 知识体系图

下面这张图，把四个坐标系和它们之间的变换关系画清楚了：

2.7 避坑指南

做坐标系变换时，有几个坑我踩过，分享给你：

坐标系方向搞反：我曾经在写代码时，把旋转矩阵的转置和逆搞混了。结果重建出来的点云，全部镜像了。后来我养成了一个习惯：每次写完变换代码，先用一个已知点验证一下。
单位不统一：世界坐标系用毫米，焦距用米，像素尺寸用微米……这种混乱我见过太多次了。建议统一用毫米。
主点位置想当然：不是所有相机的图像原点都在左上角。有些工业相机可以配置原点位置。一定要确认。
忽略畸变：实际镜头都有畸变，尤其是广角镜头。不做畸变校正，后面的测量全是错的。

重要提醒：坐标系变换是相机标定的核心。如果你这一步没搞明白，后面的畸变校正、立体匹配、三维重建都会出问题。我建议你亲手推导一遍公式，再用代码实现一次。光看是记不住的。

2.8 小结

这一章我们讲了四个坐标系和它们之间的变换关系。从世界坐标系到像素坐标系，经历了刚体变换、透视投影、离散化三步。每一步都有对应的数学公式和物理意义。