4. 康复机器人动力学建模
运动学回答“机构在哪里、以多快速度运动”，动力学则回答“要产生这样的运动，各关节需要输出多大力矩”。对康复机器人而言，动力学模型直接决定三件事：重力补偿是否让患者感觉“轻”；助力/阻力控制是否平滑；以及能否从关节力矩中反推出患者主动贡献了多少力。本节围绕两条建模路线、人机耦合项、重力补偿和患者负载估计展开。
一、两种建模路线：拉格朗日与牛顿-欧拉
康复机器人常用的动力学方程可写成标准形式：
M(q)q̈ + C(q,q̇)q̇ + G(q) + F(q̇) = τ_act + τ_h
其中 q 为关节角向量，M(q) 为惯性矩阵，C(q,q̇)q̇ 为科氏力与离心力项，G(q) 为重力项，F(q̇) 为摩擦项，τ_act 为驱动器输出力矩，τ_h 为患者施加在末端或关节上的交互力矩。约定：关节角、力矩均以驱动器正方向为正，重力项 G(q) 表示“为保持静止所需施加的力矩”，因此重力补偿即在控制中前馈 −G(q)。
拉格朗日方法从能量出发，先写动能 T 与势能 V，令 L=T−V，再代入 d/dt(∂L/∂q̇)−∂L/∂q=τ。它的优点是推导过程系统、不易漏项，适合串联多关节、需要解析表达式的场合；缺点是求导繁琐，对含闭链或复杂摩擦的机构不直观。
牛顿-欧拉方法则从每个连杆的力/力矩平衡出发，先由基座向末端做一次向外递推求各连杆速度和加速度，再由末端向基座做一次向内递推求关节力矩。它计算效率高，天然适合编程实现，也便于把末端交互力 τ_h 直接折算到各关节。工程上常见做法是：用拉格朗日推导验证符号正确性，用牛顿-欧拉递推做实时计算。
二、人机耦合动力学：把患者“接进”方程
康复机器人不是独立机械臂，患者肢体通过绑带、手柄或外骨骼关节与机器人相连。耦合方式主要有两类：末端耦合（患者手/脚握持末端，力通过雅可比 J 映射为关节力矩 τ_h=JᵀF_h）和外骨骼耦合（患者肢体与机器人关节同轴，直接产生关节力矩）。
若把患者肢体视为附加连杆，则系统总动力学变为：
M_r(q)q̈ + C_r(q,q̇)q̇ + G_r(q) + M_p(q)q̈ + G_p(q) = τ_act + τ_p
其中下标 r 为机器人、p 为患者肢体，τ_p 为患者主动力矩。可见患者肢体的惯性和重力会叠加到机器人上，若控制器仍按空载模型补偿，就会出现“患者越放松、机器人越沉”的错觉。因此人机耦合建模的核心，是把 M_p、G_p 和 τ_p 从总力矩中分离出来。
三、重力补偿：从“算得准”到“补得稳”
重力补偿的目标是让患者在任意姿态下都只感受到自己的肢体重量，而不额外承受机器人自重。实现上分三步：
- 建立重力项模型：对每个连杆，G(q)=Σ mᵢ gᵀ (∂p_ci/∂q)，p_ci 为连杆质心位置。对二连杆上肢外骨骼，若连杆质量 m₁=1.8 kg、m₂=1.2 kg，质心距关节 l_c1=0.18 m、l_c2=0.15 m，则 G(q) 随肩、肘角呈正弦组合变化。
- 参数辨识：质量、质心、惯量往往未知，可用最小二乘辨识。让机器人以低速跟踪一组激励轨迹，采集 q、q̇、q̈ 与 τ_meas，构造回归矩阵 Y(q,q̇,q̈)θ=τ，解 θ=(YᵀY)⁻¹Yᵀτ 得到惯性参数。示例中若采样 200 点、激励频率 0.1–0.5 Hz，通常可将重力项残差控制在满量程的 3%–5%。
- 前馈补偿：控制律取 τ_act = τ_ctrl + Ĝ(q)，其中 Ĝ 为估计重力项。若补偿准确，患者松手时关节应基本静止；若缓慢下坠，说明补偿偏小；若向上漂移，说明补偿偏大。
四、患者肢体负载估计：从力矩反推主动贡献
患者负载估计的实质是“把机器人已知输出从总力矩中减掉，剩下的就是患者”。常用方法有两种：
基于动力学模型的方法：由 τ_p = τ_meas − τ_act + Ĝ(q) + M̂(q)q̈ + Ĉ(q,q̇)q̇，逐项计算后得到患者力矩。该方法物理意义清晰，但对参数误差和噪声敏感，需对 q̈ 做低通滤波（截止频率约 5–10 Hz）。
基于扰动观测器的方法：把患者力矩视为外部扰动，构造观测器：
d̂ = L(s)(τ_meas − τ_model)
τ̂_p = d̂ / (1 + L(s))
其中 L(s) 为观测器带宽。带宽越高响应越快，但噪声放大越明显；康复场景常取 10–20 rad/s。估计出的 τ_p 可用于计算助力比 α=τ_act/τ_p，当 α 偏大说明机器人承担过多，应降低助力；当 τ_p 接近零且患者无法完成动作，则应提高助力。
五、工程实现要点
实际部署时，建议按以下顺序推进：先完成空载参数辨识并验证重力补偿；再让健康受试者穿戴，辨识“机器人+肢体”的等效参数；最后接入扰动观测器估计 τ_p。采样率建议不低于 1 kHz，力矩信号与位置信号需时间同步；摩擦项可用库仑+粘滞模型 F(q̇)=f_c·sgn(q̇)+b·q̇ 单独辨识，避免其被误算进患者力矩。只有把 M、C、G、F 四项都处理清楚，患者负载估计才具备可用于闭环助力的可信度。