3. 康复机器人运动学建模

康复机器人的运动控制质量，首先取决于运动学模型是否准确。无论是末端牵引式上肢康复机器人、外骨骼式下肢康复机器人，还是踝关节并联康复平台，控制器都需要回答两个基本问题：给定各关节角度，末端或绑缚点在哪里；给定期望的康复训练轨迹，各关节应转到什么角度。前者是正运动学，后者是逆运动学。串联机构与并联机构在这两个问题上的求解难度、误差传播特性和可达空间形状差异显著，因此建模时必须先明确机构类型，再选择对应的求解与验证方法。

串联康复机构：从关节空间到任务空间

串联康复机构由基座、连杆和转动/移动关节依次连接，典型如三自由度上肢肩肘腕训练臂、下肢髋膝踝外骨骼。以平面两连杆上肢训练臂为例，设肩关节角为 θ₁、肘关节角为 θ₂，连杆长度分别为 L₁、L₂，基座坐标系原点位于肩关节中心，x 轴指向患者正前方，y 轴指向患者左侧，逆时针为正。则末端手柄位置为：

x = L₁·cosθ₁ + L₂·cos(θ₁+θ₂)
y = L₁·sinθ₁ + L₂·sin(θ₁+θ₂)

正运动学是显式代数式，代入角度即可得到末端坐标，计算量小、无多解问题。逆运动学则需从末端坐标反推关节角。对上述两连杆机构，先由几何关系求肘角：

cosθ₂ = (x² + y² − L₁² − L₂²) / (2L₁L₂)
θ₂ = ±arccos(cosθ₂)

θ₂ 的正负对应“肘上”和“肘下”两种构型，即同一末端位置存在两组解。康复训练中必须根据患者解剖约束和绑缚方式选择唯一合理解，例如肘关节屈曲方向应与人体的生理屈曲方向一致，不能仅按数学最短路径选取。若 L₁=0.28 m、L₂=0.26 m，目标点 (0.30, 0.18) m，则 cosθ₂≈0.317，θ₂≈±71.5°，再分别代入求 θ₁，得到两组关节角。实际控制器还需检查 θ₁、θ₂ 是否落在关节限位内，超出限位则判定该目标点不可达。

并联康复机构：多支链约束下的位姿求解

并联康复机构由动平台、静平台和若干条支链组成，典型如踝关节康复 Stewart 平台、下肢减重步行训练并联平台。其正运动学通常比逆运动学困难：给定各驱动支链长度，求动平台位姿，需要联立非线性方程组；而给定动平台期望位姿，求各支链长度反而较直接。以 3-RSS 踝关节康复平台为例，动平台绕 x、y 轴转动，三条驱动支链均布在 120° 方向。设动平台半径为 r、静平台半径为 R、支链初始长度为 l₀，动平台姿态由横滚角 α 和俯仰角 β 描述，则第 i 条支链的球铰点在动平台坐标系中的位置经旋转矩阵变换后，与静平台铰点求距离，即可得到该支链长度：

lᵢ = ‖ p_static,i − (R_αβ · p_moving,i + t) ‖

其中 R_αβ 为动平台旋转矩阵，t 为动平台中心平移向量。逆运动学逐支链独立计算，便于实时控制；正运动学则需用牛顿-拉夫森迭代或解析消元求解 α、β。并联机构的优势是刚度高、误差不累积、适合踝关节这类需要多方向阻抗训练的场合，但工作空间通常小于同尺寸串联机构，且支链间易发生干涉。

工作空间分析：从几何边界到康复动作覆盖

工作空间是末端或绑缚点能够到达的位置集合，直接决定康复机器人能否覆盖患者所需的训练动作。串联机构的工作空间通常用蒙特卡洛法生成：在关节限位内随机采样 θ₁、θ₂，代入正运动学得到大量末端点，再求凸包或栅格化统计。以两连杆上肢臂为例，若 θ₁∈[−30°, 120°]、θ₂∈[0°, 135°]，采样 10 万次后，工作空间呈扇形环带，内边界由 L₁−L₂ 决定，外边界由 L₁+L₂ 决定。康复训练中常见的“手到嘴”“手到头顶”动作，需要检查目标点是否落在该环带内。若目标点位于环带中心空洞，说明机构无法到达，需调整基座位置或增加自由度。

并联机构的工作空间除受支链长度限制外，还受球铰转角范围、支链干涉和驱动器行程约束。踝关节康复平台通常要求横滚 ±25°、俯仰 ±20°，此时需验证在该姿态范围内三条支链长度均不超过行程，且任意两支链间最小距离大于安全阈值。工程上常用“姿态可达图”表示：横轴为 α、纵轴为 β，用颜色标注可达、接近奇异和不可达区域，便于治疗师选择安全训练范围。

奇异位形：速度失控与力传递失效的边界

奇异位形是雅可比矩阵降秩的构型。串联机构在奇异位形附近，末端沿某些方向的速度趋于无穷或丧失，逆解精度急剧下降。两连杆平面臂的奇异条件为 θ₂=0° 或 180°，即完全伸直或完全折叠。完全伸直时，末端沿连杆方向无法运动，雅可比行列式为零；完全折叠时，末端位置对 θ₁ 不敏感。康复训练中应避免让患者手臂在完全伸直位附近做高速轨迹跟踪，否则关节速度指令可能超出驱动器限幅，导致抖动或保护停机。

并联机构的奇异位形更复杂，分为正奇异、逆奇异和混合奇异。以 Stewart 平台为例，当动平台与静平台接近平行且支链接近共面时，可能出现正奇异，此时即使支链长度不变，动平台也可能获得瞬时自由度。踝关节康复中，若训练轨迹经过奇异面，阻抗控制器的力输出方向会突变，患者会感到“突然发软”或“卡住”。因此，轨迹规划阶段应先用雅可比条件数或最小奇异值扫描整个训练路径，将条件数大于阈值（如 50）的区段标记为高风险区，并降低速度或绕行。

康复动作可达性验证：从模型到临床动作

可达性验证不是简单判断“点是否在工作空间内”，而是要把临床动作拆解为末端轨迹、姿态范围和速度要求，再逐项与运动学模型比对。以脑卒中患者上肢“取杯—举杯—送入口中”训练为例，可将其离散为若干关键点：杯位置、举杯最高点、口部位置。对每个关键点，先检查是否在工作空间内，再检查逆解是否存在且关节角在限位内，最后检查该点雅可比条件数是否低于阈值。若某关键点逆解存在但条件数过高，说明虽然位置可达，但速度控制不可靠，应调整训练轨迹或机构安装位置。

实际验证时，可建立如下检查表：

完成上述验证后，运动学模型才能作为轨迹规划、阻抗控制和安全性监控的基础。若模型与实测末端位置偏差超过 5 mm，应重新标定连杆长度、关节零位和铰点位置，而不是直接调控制器增益。康复机器人的运动学建模，最终要落到“患者需要的动作能否安全、准确、稳定地完成”这一目标上。