2. 时间序列基础
在进入平稳性检验与协整建模之前，必须先建立一套关于“时间序列是什么”的数学语言。量化建模中大量错误并非来自模型本身，而是来自对随机过程、自相关结构与随机游走性质的混淆。本章将把这些核心概念用统一的符号体系串起来，为后续ADF检验、协整回归与均值回归策略打下基础。
一、核心原理：从随机过程到可观测序列
一个随机过程是一族定义在概率空间上的随机变量 {Xt}，其中 t 属于某个指标集（通常为整数或实数）。当我们说“某只股票的日收益率是一个随机过程”，意思是每个交易日 t 对应的收益率 Xt 是一个随机变量，而实际观测到的那一条价格曲线，只是该随机过程的一次实现（realization）或样本路径。
描述随机过程最重要的两个矩是均值函数与自协方差函数：
μ_t = E[X_t]
γ(t, s) = Cov(X_t, X_s) = E[(X_t - μ_t)(X_s - μ_s)]若对任意 t 都有 μt = μ 且 γ(t, s) 只依赖于滞后 k = |t − s|，则称该过程为弱平稳（协方差平稳）。弱平稳是绝大多数经典时间序列模型（ARMA、GARCH均值部分）的建模前提。严格平稳要求任意有限维联合分布随时间平移不变，条件更强，但在量化实务中通常只关心弱平稳。
二、自相关与偏自相关：识别序列记忆结构
自相关函数（ACF）度量 Xt 与 Xt−k 之间的线性相关程度：
ρ_k = γ_k / γ_0, 其中 γ_k = Cov(X_t, X_{t-k})ACF 的直观含义是：当前值与 k 期之前值的“总相关”，其中包含了中间所有滞后项的间接影响。例如 AR(1) 过程 Xt = φXt−1 + εt 的 ACF 为 ρk = φk，呈指数衰减。
偏自相关函数（PACF）则剔除了中间滞后项的影响，度量在给定 Xt−1, …, Xt−k+1 的条件下，Xt 与 Xt−k 的净相关。数学上，PACF 的第 k 阶系数等于将 Xt 对 Xt−1…Xt−k 做线性回归时 Xt−k 的系数。
三、白噪声与随机游走：两个极端基准
白噪声是最“无记忆”的平稳过程。若 {εt} 满足 E[εt] = 0，Var(εt) = σ²，且对所有 k ≠ 0 有 Cov(εt, εt−k) = 0，则称为白噪声。若进一步要求独立同分布，则称为 i.i.d. 白噪声。白噪声的 ACF 在 0 处为 1，其余全为 0，是检验模型残差是否被充分提取的标准。
随机游走是白噪声的累积和：
X_t = X_{t-1} + ε_t, ε_t ~ WN(0, σ²)
=> X_t = X_0 + Σ_{i=1}^{t} ε_i
Var(X_t) = tσ²随机游走的方差随时间线性增长，因此它不是平稳过程。它的 ACF 在高滞后处衰减极慢，样本ACF常呈近似线性下降。更关键的是，随机游走对冲击具有永久性记忆：一次冲击会永久改变序列水平，不会回归到原有均值。这正是“单位根”的直观含义，也是价格序列通常需要差分才能建模的原因。
四、方法流程：从原始序列到结构判断
- 画图：先看时序图，判断是否存在趋势、季节性与方差不齐。
- 计算ACF/PACF：观察衰减速度与截尾位置，初步判断AR/MA结构。
- 平稳性检验：用ADF、KPSS等检验判断是否存在单位根。
- 差分或去趋势：若非平稳，先做一阶差分或对数差分。
- 残差白噪声检验：用Ljung-Box检验确认模型是否充分。
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf, adfuller
np.random.seed(7)
eps = np.random.normal(0, 1, 500)
rw = np.cumsum(eps) # 随机游走
diff = np.diff(rw) # 一阶差分后近似白噪声
print("ADF p-value (raw):", adfuller(rw)[1]) # 通常 > 0.05
print("ADF p-value (diff):", adfuller(diff)[1]) # 通常 < 0.05
print("ACF lag1-5:", np.round(acf(diff, nlags=5), 3))
print("PACF lag1-5:", np.round(pacf(diff, nlags=5), 3))五、案例与场景：价差序列的均值回归判断
假设我们研究两只股票的价差 St = PAt − βPBt。若 St 是随机游走，则价差没有稳定均值，做多做空只会承担方向性风险；若 St 是平稳的均值回归过程（如OU过程），则偏离均值后有较大概率回归，才具备统计套利基础。判断流程如下：
| 步骤 | 操作 | 判断标准 |
|---|---|---|
| 1 | 绘制价差时序图 | 是否围绕水平线波动 |
| 2 | ADF检验 | p < 0.05 拒绝单位根 |
| 3 | 计算半衰期 | 由AR(1)系数θ得 ln(0.5)/ln(θ) |
| 4 | 残差白噪声检验 | Ljung-Box p > 0.05 |
六、常见误区与复盘
- 误区一：把高ACF当作可预测性。随机游走的样本ACF也常显著非零，但那是非平稳造成的伪相关，不能直接用于预测。
- 误区二：对价格直接做回归。两个独立随机游走做回归极易得到高R²和显著t值，这是伪回归，必须先用协整框架处理。
- 误区三：忽略白噪声检验。模型残差若仍存在自相关，说明结构未提取干净，参数估计与置信区间都不可靠。
- 误区四：差分过度。对已平稳序列再做差分会引入MA单位根，降低可预测性。