3. SRM数学建模

开关磁阻电机（SRM）的双凸极结构与磁路饱和特性，决定了它无法像永磁同步电机那样用一组线性方程完整描述。工程上要建立可用于控制的SRM模型，必须同时处理三件事：每相的电气动态、转子运动的机械动态，以及随转子位置和相电流变化的电磁转矩。三者通过相电感与磁链耦合在一起，构成一个非线性、强耦合的时变系统。

一、电路方程：每相的电压平衡

SRM的每一相可视为一个可变磁阻线圈，其端电压由电阻压降和磁链变化率共同决定。对第 k 相，电路方程为：

u_k = R_k · i_k + dψ_k/dt
ψ_k = ψ(i_k, θ)   →   dψ_k/dt = (∂ψ/∂i)·di/dt + (∂ψ/∂θ)·dθ/dt

其中 uk 为相电压，Rk 为相电阻，ik 为相电流，ψk 为相磁链，θ 为转子位置角。关键点在于磁链是电流和转子位置的双变量函数，因此电压方程中会出现两个偏导项：∂ψ/∂i 对应增量电感，∂ψ/∂θ 对应旋转反电动势。忽略后者会导致高速区电流波形严重失真。

若采用线性化假设，令 ψ = L(θ)·i，则电压方程简化为 u = R·i + L(θ)·di/dt + i·(dL/dθ)·ω，其中 ω 为机械角速度。该式清楚显示了SRM的旋转电动势来自电感随位置的变化率，而非永磁体的恒定磁链。

二、机械方程：转矩与转速的耦合

机械方程描述转子在电磁转矩、负载转矩和摩擦阻力共同作用下的运动：

J · dω/dt = T_e - T_L - B · ω
dθ/dt = ω

式中 J 为转动惯量，Te 为电磁转矩，TL 为负载转矩，B 为粘滞摩擦系数。该方程把电气子系统产生的转矩转换为转速和位置，再反馈回电路方程中的 θ，形成闭环。建模时必须注意：SRM的转矩是脉动的，Te 不是常数，而是随相电流和转子位置快速变化的量。

三、电磁转矩方程：从磁共能出发

SRM的电磁转矩不能简单写成 T = K·i，而应从磁共能 W' 对转子位置的偏导数得到：

T_e = ∂W'(i, θ)/∂θ | i = const
W'(i, θ) = ∫₀^i ψ(i', θ) di'

在线性磁路假设下，ψ = L(θ)·i，则 W' = ½·L(θ)·i²，转矩简化为：

T_e = ½ · i² · dL(θ)/dθ

这个式子揭示了SRM转矩产生的本质：只有当相电感随转子位置变化时，通电相才能产生转矩；且转矩方向由 dL/dθ 的符号决定。在电感上升区通电产生正向转矩，在电感下降区通电产生制动转矩。因此，SRM的控制核心就是“在正确的转子位置区间给正确的相通电”。

四、相电感与转子位置关系

相电感 L(θ) 是SRM建模中最具特征的部分。以定子凸极中心线与转子凸极中心线对齐位置为参考，一个电周期内相电感随转子位置呈周期性变化，典型曲线可分为四个区间：

  • 对齐位置附近：定、转子凸极完全对齐，磁阻最小，电感最大 Lmax，dL/dθ ≈ 0。
  • 下降区：转子凸极逐渐离开定子凸极，气隙增大，电感从 Lmax 下降到 Lmin，dL/dθ < 0。
  • 非对齐位置附近：定、转子凸极完全错开，磁阻最大，电感最小 Lmin，dL/dθ ≈ 0。
  • 上升区：转子凸极逐渐靠近定子凸极，电感从 Lmin 上升到 Lmax，dL/dθ > 0，是产生正向转矩的主要区间。

实际电机中，由于磁路饱和，L(θ) 还随相电流增大而下降，因此更准确的描述是 L(i, θ) 或 ψ(i, θ) 曲面。

SRM 非线性建模：电气—机械—电磁转矩耦合关系 电气子系统 u_k = R_k·i_k + dψ_k/dt ψ_k = ψ(i_k, θ) 状态量：i_k、ψ_k 输入：u_k、θ 机械子系统 J·dω/dt = T_e - T_L - B·ω dθ/dt = ω 状态量：ω、θ 输入：T_e、T_L 电磁转矩环节 T_e = ∂W'(i,θ)/∂θ 线性化：T_e = ½·i²·dL/dθ 输入：i_k、θ 输出：T_e i_k T_e 位置反馈 θ（决定电感与磁链工作点） 相电感 L(θ) 与转子位置关系（一个电周期） θ L 非对齐 L_min 对齐 L_max 非对齐 L_min 上升区 dL/dθ>0 下降区 dL/dθ<0 大电流饱和 → L 下降

五、非线性建模方法

由于磁路饱和与边缘效应，实际SRM的 ψ(i, θ) 是非线性曲面。工程上常用的建模方法有以下几类：

方法 核心思路 优点 局限
线性电感模型 用 Lmin、Lmax 和分段线性 L(θ) 近似 形式简单，便于解析分析和初步控制器设计 忽略饱和，大电流和高速时误差大
分段解析模型 将 ψ(i, θ) 按位置区间和电流区间分段拟合 计算量小，可嵌入实时控制 分段边界处不光滑，参数标定工作量大
查表插值模型 实测或有限元获得 ψ(i, θ) 数据表，运行时二维插值 精度高，能反映真实饱和特性 需要大量实验数据，存储和插值开销较大
解析函数拟合 用傅里叶级数或指数函数拟合 L(i, θ) 连续可导，便于求转矩和反电动势 拟合精度依赖函数阶数和参数辨识质量
有限元+降阶模型 有限元计算磁场分布，再提取磁链、转矩特性 物理精度最高，适合验证和标定 计算量大，不适合直接用于实时控制

六、案例：四相8/6极SRM建模参数

以一台四相8/6极SRM为例，建模所需的核心参数如下：

相电阻 R = 0.8 Ω
转动惯量 J = 0.0025 kg·m²
粘滞摩擦 B = 0.0008 N·m·s/rad
最小电感 L_min = 8 mH
最大电感 L_max = 42 mH
额定相电流 I_rated = 6 A
额定转矩 T_rated = 1.2 N·m
转子极数 Nr = 6，定子极数 Ns = 8
电周期角 = 360°/Nr = 60° 机械角

在Simulink或PLECS中搭建时，通常将电路方程和机械方程分别用积分器实现，转矩环节用查表模块读取 ψ(i, θ) 数据，再对位置求偏导得到 Te。这样既保留了非线性特性，又能保证仿真速度。

常见误区：把SRM当成直流电机或永磁同步电机来建模，直接用 T = Kt·i 计算转矩。SRM的转矩与电流平方和电感变化率相关，且存在明显的转矩脉动。忽略 dL/dθ 的符号和饱和效应，会导致换相逻辑错误、电流波形失真，甚至仿真发散。

七、建模流程复盘

  1. 确定建模精度目标：若用于控制器初步验证，可选线性或分段解析模型；若用于转矩脉动抑制和效率优化，必须采用查表或有限元降阶模型。
  2. 获取磁链特性：通过有限元仿真或实验测量得到 ψ(i, θ) 数据，覆盖全电流范围和全位置周期。
  3. 建立电气方程：用 u = R·i + dψ/dt 计算相电流，注意 dψ/dt 的偏导展开。
  4. 建立转矩方程：由磁共能对位置求偏导得到 Te，或直接使用转矩查表。
  5. 建立机械方程：由 Te、TL 和摩擦项积分得到 ω 和 θ。
  6. 闭环验证：将 θ 反馈回电气和转矩环节，检查电流、转矩、转速波形是否符合物理规律。

SRM数学建模的本质，是把“电—磁—机”三个能量转换环节用一组耦合方程描述清楚。电路方程决定电流如何建立，电磁转矩方程决定电流如何转化为转矩，机械方程决定转矩如何转化为运动，而相电感与转子位置关系则是连接电气与机械的桥梁。只有同时把握这四部分，才能建立既准确又可用于控制的SRM模型。

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