4. 动态规划多阶段库存控制建模

问题设定与状态变量定义

某仓库对单一物料做 4 个周期的库存计划。已知每期需求 d = [3, 5, 2, 4]（件），期初库存为 0，期末库存必须为 0（不允许缺货、不保留残值）。每期订货量 q_t 为非负整数，单次订货固定成本 K = 10 元，单位订货变动成本 c = 2 元/件，单位库存持有成本 h = 1 元/(件·期)。目标是使 4 期总成本最小。

动态规划建模的关键是选对状态。这里取期初库存 s_t 为状态，决策为订货量 q_t，状态转移由库存平衡方程给出：

s_{t+1} = s_t + q_t - d_t ,   s_t + q_t ≥ d_t ,  s_1 = 0 ,  s_5 = 0

单期成本为 C_t(s_t, q_t) = K·1{q_t>0} + c·q_t + h·s_{t+1}，其中 1{·} 为示性函数，只有订货才付固定成本。递推方程（逆序）为：

f_t(s_t) = min_{q_t ≥ max(0, d_t - s_t)} [ C_t(s_t, q_t) + f_{t+1}(s_{t+1}) ] ,  f_5(s_5) = 0

由于总需求为 14 件，且不允许缺货，任何可行策略的累计订货量恰为 14，故变动订货成本 c·Σq_t = 28 元恒定，真正需要优化的是固定订货成本与持有成本之和。这一观察能显著缩小搜索范围：只需在“何时合并订货”上做取舍。

逆序递推求解

从最后一期开始向前推。第 4 期期末必须清零，故 q₄ = d₄ − s₄ = 4 − s₄，无选择余地：

f₄(s₄) = K·1{q₄>0} + 2q₄ + 1·0 = 10·1{s₄<4} + 2(4 − s₄)

第 3 期需在“当期订多少”上决策，且 s₄ = s₃ + q₃ − 2。逐一代入 s₃ ∈ {0,1,2,3,4} 计算可得：

继续推到第 1 期，起点 s₁ = 0，得到最优总成本 f₁(0) = 46 元，对应最优策略为：第 1 期订货 8 件（覆盖第 1、2 期需求），第 3 期订货 6 件（覆盖第 3、4 期需求），即两次订货、两次批量合并。验证成本：固定成本 2×10 = 20，变动成本 2×14 = 28，持有成本为第 1 期末 5 件 + 第 3 期末 4 件 = 9，合计 20 + 28 + 9 = 57？——注意此处需核对：若第 1 期订 8 件，第 1 期末库存为 8 − 3 = 5，第 2 期末为 5 − 5 = 0；第 3 期订 6 件，第 3 期末为 6 − 2 = 4，第 4 期末为 0。持有成本 = 5 + 0 + 4 + 0 = 9，总成本 = 20 + 28 + 9 = 57，与递推值 46 不符，说明上述手算表存在口径差异，应以程序递推结果为准。

可运行的动态规划求解代码

以下 Python 代码对任意需求序列、任意成本参数做完整逆序递推，并回溯最优订货策略，同时输出每期状态-决策表，便于核对。

import math

def solve_inventory_dp(demand, K=10, c=2, h=1):
    """多周期库存动态规划（不允许缺货、期末清零）
    demand: 各期需求列表
    K: 固定订货成本, c: 单位变动成本, h: 单位持有成本
    返回: 最优总成本, 最优订货策略, 各期 f 表
    """
    T = len(demand)
    # 状态上界：期初库存不会超过后续总需求
    max_s = sum(demand)
    INF = math.inf

    # f[t][s] 表示第 t 期（0-based）期初库存为 s 时的最小后续成本
    f = [[INF] * (max_s + 1) for _ in range(T + 1)]
    policy = [[None] * (max_s + 1) for _ in range(T + 1)]
    f[T] = [0 if s == 0 else INF for s in range(max_s + 1)]  # 期末必须为 0

    for t in range(T - 1, -1, -1):
        d = demand[t]
        for s in range(max_s + 1):
            q_min = max(0, d - s)
            best = INF
            best_q = None
            for q in range(q_min, max_s - s + 1):
                s_next = s + q - d
                if s_next < 0 or f[t + 1][s_next] == INF:
                    continue
                cost = (K if q > 0 else 0) + c * q + h * s_next + f[t + 1][s_next]
                if cost < best:
                    best = cost
                    best_q = q
            f[t][s] = best
            policy[t][s] = best_q
    # 回溯
    s = 0
    orders = []
    for t in range(T):
        q = policy[t][s]
        orders.append(q)
        s = s + q - demand[t]
    return f[0][0], orders, f

demand = [3, 5, 2, 4]
total, orders, f = solve_inventory_dp(demand)
print("最优总成本:", total)
print("最优订货策略:", orders)
for t in range(len(demand)):
    print(f"第{t+1}期 f 表(前6项):", f[t][:6])

运行后输出最优总成本与订货策略。以 demand = [3,5,2,4]、K=10, c=2, h=1 为例，程序给出的最优策略为 [8, 0, 6, 0]，总成本 57 元，与逐项成本核算一致（固定 20 + 变动 28 + 持有 9）。这说明前面手算表中的 46 是口径错误，程序结果才是可信基准。

需求波动的影响分析

保持成本参数不变，改变需求序列，观察最优策略与总成本的变化。下面用同一函数批量计算几组典型需求：

cases = {
    "平稳": [3, 3, 3, 3],
    "前高后低": [6, 4, 2, 1],
    "前低后高": [1, 2, 4, 6],
    "尖峰": [1, 1, 9, 1],
    "交替": [5, 1, 5, 1],
}
for name, d in cases.items():
    total, orders, _ = solve_inventory_dp(d)
    print(f"{name:6s} 需求={d} 策略={orders} 总成本={total}")

预期可观察到的规律（示例数据下的定性结论，具体数值以实际运行结果为准）：

• 需求越平稳，越容易把相邻期合并订货，固定成本被摊薄，总成本相对更低。
• 需求前低后高时，提前备货会承担较长持有期，策略倾向于靠后期再订货，持有成本被压低。
• 出现尖峰需求时，尖峰期往往单独触发一次订货，前后期则可能各自合并，订货次数上升。
• 交替波动会削弱批量合并的收益，因为合并后持有量在低谷期被拉长，h 的累积抵消了 K 的节省。

判断策略是否“值得合并”的实用准则是比较：合并节省的固定成本 K 是否大于因此多付出的持有成本 h × 提前期数 × 提前备货量。当 K/h 较大时倾向少订多备，K/h 较小时倾向频繁小批量订货。