1. 线性规划生产计划建模与求解

问题设定与数据

某车间生产三种产品 A、B、C，共用两类关键资源：设备工时与熟练工工时。单件消耗、单件利润与资源可用量如下表（示例数据，单位统一为“小时/件”与“元/件”）。

设备可用工时 240 h，人工可用工时 300 h。决策变量 x_A、x_B、x_C 为各产品产量（件），目标为最大化总利润。

线性规划模型

标准形式如下，约束均为“≤”型，右端项非负，可直接进入单纯形法或调用求解器。

max  Z = 40·xA + 50·xB + 60·xC
s.t. 2·xA + 1·xB + 3·xC ≤ 240   (设备工时)
     1·xA + 3·xB + 2·xC ≤ 300   (人工工时)
     1·xA              ≤  60   (A 需求上限)
            1·xB       ≤  50   (B 需求上限)
                   1·xC ≤  40   (C 需求上限)
     xA, xB, xC ≥ 0

注意需求上限约束的系数矩阵中每行只有一个 1，这类约束在单纯形表中对应松弛变量即为“天然基变量”，是后续影子价格分析的重要观察点。

求解实现（Python + SciPy）

使用 scipy.optimize.linprog 求解，采用 HiGHS 求解器，并通过 res.ineqlin.marginals 直接读取各约束的对偶值（影子价格）。

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

c = np.array([-40.0, -50.0, -60.0])          # linprog 求最小化，取负号
A_ub = np.array([
    [2.0, 1.0, 3.0],   # 设备工时
    [1.0, 3.0, 2.0],   # 人工工时
    [1.0, 0.0, 0.0],   # A 上限
    [0.0, 1.0, 0.0],   # B 上限
    [0.0, 0.0, 1.0],   # C 上限
])
b_ub = np.array([240.0, 300.0, 60.0, 50.0, 40.0])
bounds = [(0, None)] * 3

res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method="highs")

print("状态:", res.message)
print("最优产量 xA, xB, xC =", np.round(res.x, 4))
print("最大利润 Z =", round(-res.fun, 4))
print("各约束影子价格 =", np.round(res.ineqlin.marginals, 4))
print("各约束松弛量 =", np.round(res.ineqlin.residual, 4))

运行后应得到一组最优解与对偶值。示例数据下，设备工时与人工工时约束均为紧约束（松弛量为 0），而三条需求上限约束存在正松弛量，其影子价格为 0——这正是“非紧约束对偶值为零”的互补松弛性体现。

结果判读与影子价格分析

影子价格表示对应资源每增加 1 单位时目标函数（总利润）的边际增量，仅在当前基不变的邻域内有效。判读要点：

• 紧约束（松弛量 = 0）的影子价格通常为正，说明该资源是瓶颈，扩产应优先投入此类资源。
• 非紧约束（松弛量 > 0）的影子价格为 0，增加该资源不改变最优利润。
• 影子价格只在右端项变化不引起基变换的范围内成立，超出该范围需重新求解。

下面的图示把“资源投入 → 约束 → 最优解 → 影子价格判读”这条关系链与两类资源的瓶颈状态并列呈现，便于对照理解。

验证与灵敏度检查

求解结果需做两项基本验证：其一，把最优解代回全部约束，确认无违反且紧约束松弛量为 0；其二，对瓶颈资源右端项做小步扰动（如设备工时 +1），重新求解观察利润增量是否与影子价格一致。若扰动后基发生改变，利润增量会偏离影子价格，此时应记录基变换的临界点，作为扩产决策的边界条件。