3. 非线性规划投资组合优化建模

问题设定与数据

选取 4 只资产（示例数据，年化收益率与协方差矩阵均为假设值，用于演示建模流程）：

协方差矩阵（年化，单位：方差/协方差）：

Σ = [[0.0400, 0.0150, 0.0020, 0.0000],
     [0.0150, 0.0300, 0.0015, 0.0000],
     [0.0020, 0.0015, 0.0100, 0.0000],
     [0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0005]]

马科维茨均值-方差模型：在给定目标收益 μ_p 下最小化组合方差，权重非负且和为 1。目标函数 w^TΣw 关于 w 是二次型，属于非线性规划。

非线性规划模型构建

决策变量 w = (w_A, w_B, w_C, w_D)，模型为：

min  f(w) = w^T Σ w
s.t. μ^T w ≥ μ_target        （收益约束）
     Σ w_i = 1               （预算约束）
     w_i ≥ 0                 （不允许卖空）

目标函数是凸二次型（Σ 正定），约束为线性，因此是凸二次规划，局部最优即全局最优。求解时可用 scipy.optimize.minimize 的 SLSQP 方法，或直接调用 cvxpy 的二次规划接口。

求解实现（Python）

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

mu = np.array([0.12, 0.10, 0.05, 0.03])
Sigma = np.array([
    [0.0400, 0.0150, 0.0020, 0.0000],
    [0.0150, 0.0300, 0.0015, 0.0000],
    [0.0020, 0.0015, 0.0100, 0.0000],
    [0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0005]])

def solve_portfolio(mu_target):
    n = len(mu)
    def obj(w):
        return w @ Sigma @ w
    def obj_grad(w):
        return 2 * Sigma @ w
    cons = [
        {'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1, 'jac': lambda w: np.ones(n)},
        {'type': 'ineq', 'fun': lambda w: mu @ w - mu_target, 'jac': lambda w: mu}
    ]
    bounds = [(0, 1)] * n
    w0 = np.ones(n) / n
    res = minimize(obj, w0, jac=obj_grad, method='SLSQP',
                   bounds=bounds, constraints=cons,
                   options={'ftol': 1e-12, 'maxiter': 500})
    return res

for target in [0.05, 0.08, 0.10]:
    res = solve_portfolio(target)
    w = res.x
    ret = mu @ w
    risk = np.sqrt(w @ Sigma @ w)
    print(f"目标收益 {target:.2f} -> 实际收益 {ret:.4f}, 风险 {risk:.4f}")
    print("  权重:", np.round(w, 4))

预期输出（示例，实际数值以运行结果为准）：目标收益 0.08 时，权重会向 A、B 倾斜，C、D 保留少量以分散风险；风险随目标收益提高而单调上升，这正是有效前沿的体现。

风险-收益权衡分析

通过扫描不同目标收益 μ_target（如 0.04 到 0.12，步长 0.005），记录每个解的风险 σ_p，即可绘制有效前沿。关键判读：

• 目标收益低于最小方差组合收益时，约束不起作用，解退化为最小方差组合；
• 目标收益越高，权重越集中于高收益资产，风险加速上升（前沿曲线变陡）；
• 若某资产权重长期为 0，说明在当前参数下它被其他资产支配，可考虑剔除。