4. 参数估计与抽样分布

统计建模的核心任务之一，是用样本去推断总体的未知参数。例如，假设某批电阻的阻值服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)，我们真正关心的是 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 到底是多少。参数估计就是根据样本 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 给出这些未知参数的估计值或估计范围。点估计给出一个具体数值，区间估计给出一个带有置信水平的范围，而抽样分布则是判断估计好坏、构造置信区间的理论桥梁。

点估计：极大似然估计与矩估计

点估计是用一个统计量 \(\hat{\theta}\) 去估计参数 \(\theta\)。最常用的两种构造方法是极大似然估计（MLE）和矩估计（MOM）。

极大似然估计的思想是：既然样本已经出现，就选择使这组样本出现概率最大的参数值。对独立同分布样本，似然函数为 \(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta)\)，通常取对数后求导并令导数为零。以指数分布 \(f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}\) 为例，对数似然为 \(\ell(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum x_i\)，求导得 \(\hat{\lambda}=n/\sum x_i=1/\bar{x}\)。在 MATLAB 中可以直接用 mle 函数完成数值求解：

x = exprnd(2, 200, 1);          % 生成均值为2的指数分布样本
phat = mle(x, 'Distribution', 'exponential');
lambda_hat = 1 / mean(x);        % 解析解对照
disp([phat, lambda_hat]);

矩估计则更直接：用样本矩代替总体矩。若总体一阶矩 \(E[X]=g(\theta)\)，令 \(g(\theta)=\bar{x}\) 解出 \(\hat{\theta}\)。例如正态分布 \(\mu\) 的矩估计就是样本均值，\(\sigma^2\) 的矩估计是样本二阶中心矩。矩估计计算简单，但有时效率低于 MLE；MLE 在大样本下通常具有一致性和渐近正态性，是更常用的选择。

自助法：不依赖分布假设的重采样

当样本量小、分布未知或统计量没有解析抽样分布时，自助法（Bootstrap）提供了一种通用思路。其核心是：把原始样本看作经验总体，从中进行有放回地重复抽样，得到大量自助样本，再计算统计量的经验分布。MATLAB 中可用 bootstrp 实现：

x = [2.1 3.4 1.8 2.9 4.2 2.5 3.1 2.7];
stat = @(data) median(data);
boot_med = bootstrp(2000, stat, x);
ci = prctile(boot_med, [2.5 97.5]);   % 百分位法置信区间

自助法特别适合中位数、相关系数、回归系数等复杂统计量。需要注意的是，它假设原始样本能代表总体，样本量过小时结果可能不稳定。

抽样分布与置信区间覆盖率验证

抽样分布描述的是统计量在重复抽样下的分布规律。例如，正态总体下样本均值 \(\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)\)，标准化后服从标准正态分布；当 \(\sigma\) 未知时，用样本标准差 \(s\) 替代，则 \(T=(\bar{X}-\mu)/(s/\sqrt{n})\) 服从自由度为 \(n-1\) 的 t 分布。这正是构造置信区间的依据：\(\mu\) 的 \(1-\alpha\) 置信区间为 \(\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2}(n-1)\cdot s/\sqrt{n}\)。

置信区间的“置信水平”不是指某个具体区间包含真值的概率，而是指在大量重复抽样中，按同样方法构造的区间有约 \(1-\alpha\) 的比例覆盖真值。我们可以用蒙特卡洛模拟验证覆盖率：

mu = 10; sigma = 2; n = 30; alpha = 0.05; B = 5000;
cover = false(B, 1);
for b = 1:B
    x = mu + sigma * randn(n, 1);
    xbar = mean(x); s = std(x);
    tcrit = tinv(1 - alpha/2, n - 1);
    ci = xbar + [-1 1] * tcrit * s / sqrt(n);
    cover(b) = (ci(1) <= mu) && (mu <= ci(2));
end
fprintf('覆盖率 = %.4f\n', mean(cover));

若运行结果接近 0.95，说明区间构造方法正确；若明显偏低，可能是分布假设错误、样本量不足或公式使用不当。覆盖率验证把“置信水平”从抽象概念变成了可检验的数值指标，是理解区间估计最有效的方式之一。