3. 概率分布与随机数生成

以正态分布为例，若某零件长度服从 N(50, 0.2²)，则 normpdf(50,50,0.2) 给出峰值密度，normcdf(50.3,50,0.2) 给出不超过 50.3 的累积概率，norminv(0.975,50,0.2) 给出 97.5% 分位点。三者分别对应“点密度”“区间概率”“反向查分位”，是后续区间估计与假设检验的基础。

概率密度与累积分布函数

连续随机变量的概率密度函数 f(x) 本身不是概率，而是概率密度；区间概率由积分给出，即 P(a<X≤b)=F(b)-F(a)。累积分布函数 F(x) 单调不减，取值在 0 到 1 之间。MATLAB 中 pdf 与 cdf 正是这一对关系的直接实现。绘制分布曲线时，通常用 linspace 生成横轴网格，再分别计算 pdf 与 cdf，可直观看到密度峰值位置与累积曲线的陡缓变化。

随机数种子与可重复性

随机数生成器本质是伪随机序列，给定相同种子即可复现相同序列。MATLAB 推荐使用 rng(seed) 控制全局随机流。例如 rng(2024); x = randn(1,5); 每次运行都会得到同一组数。若需要独立控制多个随机流，可使用 RandStream 创建独立对象，避免不同模块之间相互干扰。在蒙特卡洛实验中，固定种子是结果可复现、可审计的前提；但正式评估时，应报告种子值并说明是否做了多次独立重复。

rng(2024);                 % 固定种子
x = randn(1,5);            % 生成 5 个标准正态随机数
rng(2024);                 % 重置同一粒种子
y = randn(1,5);            % y 与 x 完全相同
isequal(x,y)               % 返回 true

蒙特卡洛抽样初步

蒙特卡洛方法的核心是“用随机抽样估计确定性量”。以估计圆周率为例：在单位正方形内均匀投点，统计落入四分之一圆内的比例，乘以 4 即得 π 的估计。MATLAB 实现如下：

rng(7);
N = 1e6;
u = rand(N,1); v = rand(N,1);
inside = (u.^2 + v.^2) <= 1;
pi_est = 4 * mean(inside);   % 约 3.141x
err = abs(pi_est - pi);

该例中，rand 产生 [0,1] 均匀随机数，mean(inside) 是落入圆内频率，乘以 4 得到面积估计。样本量 N 越大，估计标准误约按 1/√N 下降。实际建模中，蒙特卡洛常用于传播输入不确定性：先为每个输入指定分布，再抽样、代入模型、统计输出分布，从而得到均值、分位数与置信区间。

分布拟合与拟合优度检验

拿到一组样本后，可用 fitdist 估计分布参数，再用拟合优度检验判断该分布是否合理。常用检验包括卡方检验 chi2gof、Kolmogorov-Smirnov 检验 kstest 与 Anderson-Darling 检验 adtest。原假设通常为“样本来自指定分布”，p 值小于显著性水平（如 0.05）时拒绝原假设。

data = wblrnd(2, 1.5, 500, 1);      % 示例：生成威布尔样本
pd = fitdist(data, 'Weibull');       % 拟合威布尔分布
[h,p] = kstest(data, 'CDF', pd);     % K-S 检验
% h=0 表示不拒绝原假设，p 为对应 p 值

需要注意：拟合优度检验不显著并不等于“分布正确”，只说明当前样本没有足够证据拒绝它。样本量很大时，微小偏差也可能导致拒绝；样本量很小时，检验功效不足。因此应结合直方图、Q-Q 图、经验 CDF 与领域知识综合判断，而不是只看一个 p 值。