3. 动态系统与数学模型基础

系统辨识的核心任务，是用一个数学模型去逼近真实动态系统的输入输出行为。要完成这件事，首先必须理解“动态系统”在数学上有哪些等价或互补的描述方式，以及这些描述在 MATLAB 中如何落地。本章围绕连续系统与离散系统、传递函数、状态空间、差分方程四条主线展开，并给出它们在 MATLAB 中的标准表示方法。

一、连续系统与离散系统：时间轴上的两种视角

连续系统用微分方程描述，输入 u(t) 与输出 y(t) 在时间上连续变化。以典型一阶惯性系统为例：

τ · dy(t)/dt + y(t) = K · u(t)

其中 τ 为时间常数，K 为静态增益。离散系统则用差分方程描述，只在采样时刻 kT（T 为采样周期）取值。同一物理对象，若用零阶保持器采样，可写成：

y[k] = a · y[k-1] + b · u[k-1]

连续与离散不是两个不同的系统，而是同一系统的两种表示。辨识时若数据来自计算机采集，天然是离散序列，通常先建立离散模型，再按需转换回连续模型。采样周期 T 的选择直接影响模型精度：T 过大，高频动态被混叠丢失；T 过小，数据冗余且数值病态。工程经验是让系统主要时间常数对应 5～10 个采样点。

二、传递函数：输入输出关系的频域表达

对连续系统做拉普拉斯变换（零初始条件），得到传递函数：

G(s) = Y(s) / U(s) = K / (τ·s + 1)

传递函数只描述输入到输出的外部关系，不暴露内部状态，适合单输入单输出（SISO）系统的频域分析与控制器设计。离散系统对应 Z 变换，得到脉冲传递函数 G(z)。MATLAB 中用 tf 构造：

K = 2; tau = 0.5;
G = tf(K, [tau 1]);        % 连续传递函数
Gd = c2d(G, 0.1, 'zoh');   % 以 T=0.1s 离散化

运行后 Gd 会给出离散分子分母系数，可直接用于差分方程递推。判断模型是否合理，可看 step(G) 的稳态值是否等于 K、上升时间是否与 τ 匹配。

三、状态空间：内部结构的完整描述

当系统为多输入多输出（MIMO），或需要观察内部状态时，传递函数不够用，应使用状态空间模型：

dx/dt = A·x + B·u
y     = C·x + D·u

其中 x 为状态向量，A 描述状态间耦合，B 描述输入对状态的作用，C 描述状态到输出的映射，D 为直通项。MATLAB 中用 ss 构造：

A = [0 1; -1/tau^2 -2/tau];
B = [0; K/tau^2];
C = [1 0]; D = 0;
sys = ss(A, B, C, D);

状态空间与传递函数可互相转换：tf(sys) 得到传递函数，ss(G) 得到状态空间。同一传递函数对应的状态空间实现不唯一，取决于状态变量的选取。

四、差分方程与 MATLAB 表示

离散差分方程是辨识算法最直接的模型形式。一般 n 阶差分方程写作：

y[k] + a1·y[k-1] + ... + an·y[k-n]
     = b1·u[k-1] + ... + bm·u[k-m]

在 MATLAB 中，可用 filter 按系数向量递推仿真：

a = [1 -0.8]; b = [0 0.2];
u = ones(1, 50);
y = filter(b, a, u);   % 单位阶跃响应序列

也可用 idpoly 或 arx 结构表示待辨识模型。辨识得到 a、b 后，代入 filter 即可复现输出，与实测数据对比残差，判断模型是否可用。

五、四种表示的选用原则

面对一个具体辨识任务，选哪种表示取决于三个问题：系统是 SISO 还是 MIMO？数据是连续采集还是离散采样？是否需要观察内部状态？SISO 且只关心输入输出关系时，传递函数或差分方程最简洁；MIMO 或需要状态反馈时，状态空间更合适；数据来自数字采集时，优先建立离散模型，再用 d2c 转回连续形式。