4. 两自由度系统模态仿真与振型提取
两自由度系统的建模对象与矩阵装配
本例的虚拟样机由两个集中质量 m₁、m₂ 和三个弹簧 k₁（左端墙—m₁）、k₂（m₁—m₂）、k₃（m₂—右端墙）组成，两质量仅沿水平方向平动。取广义坐标为 x = [x₁, x₂]ᵀ，无阻尼自由振动方程为：
M·ẍ + K·x = 0
M = [[m₁, 0], [0, m₂]]
K = [[k₁+k₂, -k₂], [-k₂, k₂+k₃]]刚度矩阵的装配规则是：对角元 K(i,i) 等于与质量 i 相连的所有弹簧刚度之和；非对角元 K(i,j) 等于连接质量 i 与 j 的弹簧刚度的负值。若 i 与 j 之间无弹簧连接，则对应元素为 0。质量矩阵为对角阵，对角元即各集中质量。装配完成后，M 与 K 都应为对称矩阵，这是验证装配正确性的第一道检查。
模态分析求解与振型提取
令 x = φ·e^(jωt)，代入运动方程得到广义特征值问题 (K − ω²M)φ = 0。非零振型存在的条件是特征行列式为零：
det(K − ω²M) = 0展开后得到关于 ω² 的二次方程，解出两个特征值 ω₁²、ω₂²，对应前两阶固有频率 f₁ = ω₁/(2π)、f₂ = ω₂/(2π)。将每个特征值回代到 (K − ω²M)φ = 0，取其中一个分量归一化（例如令 φ₁ = 1），即可得到对应的振型向量 φ⁽¹⁾、φ⁽²⁾。
以教学示例参数 m₁ = m₂ = 1 kg、k₁ = k₂ = k₃ = 1000 N/m 为例，装配得到：
M = [[1, 0], [0, 1]]
K = [[2000, -1000], [-1000, 2000]]特征方程 (2000 − ω²)² − 1000² = 0，解得 ω₁² = 1000、ω₂² = 3000，即 ω₁ ≈ 31.62 rad/s、ω₂ ≈ 54.77 rad/s，对应 f₁ ≈ 5.03 Hz、f₂ ≈ 8.72 Hz。回代求振型：
- 一阶振型
φ⁽¹⁾ = [1, 1]ᵀ：两质量同向等幅运动，中间弹簧不变形，属于整体平动模态。 - 二阶振型
φ⁽²⁾ = [1, −1]ᵀ：两质量反向等幅运动，中间弹簧交替压缩拉伸，属于反对称模态。
虚拟样机中的模态仿真设置
在虚拟样机中完成模态分析，需要正确设置以下关键项：
| 设置项 | 取值/操作 | 作用 |
|---|---|---|
| 质量单元 | m₁ = 1 kg，m₂ = 1 kg | 装配对角质量矩阵 |
| 弹簧单元 | k₁ = k₂ = k₃ = 1000 N/m | 装配刚度矩阵 |
| 边界条件 | 两端固定，仅保留水平平动自由度 | 消除刚体位移，保证 K 正定 |
| 分析类型 | 无阻尼自由振动 / 特征值分析 | 求解 (K − ω²M)φ = 0 |
| 求解输出 | 前 2 阶固有频率与振型向量 | 提取模态参数 |
仿真完成后，将提取的 f₁、f₂ 与解析解对比，并检查振型向量是否满足正交性条件 φ⁽ⁱ⁾ᵀMφ⁽ʲ⁾ = 0（i ≠ j）。若频率偏差超过 1% 或振型符号关系与预期不符，应优先检查弹簧刚度是否接错节点、质量是否漏加或重复计入。