2. 弹簧-质量系统自由振动仿真
单自由度弹簧-质量虚拟样机搭建
本例在虚拟样机环境中建立单自由度弹簧-质量系统，通过施加初始位移释放后观察自由振动衰减过程，提取固有频率与阻尼比，并分析刚度、质量对振动特性的影响。系统物理模型由质量块 m、弹簧刚度 k、阻尼系数 c 组成，运动方程为：
m·ẍ + c·ẋ + k·x = 0其中 x 为质量块相对平衡位置的位移。无阻尼固有频率 ωn = √(k/m)，阻尼比 ζ = c / (2√(km))。当 0 < ζ < 1 时系统为欠阻尼，自由振动呈衰减振荡，衰减包络由 e^(-ζωn·t) 决定。
建模参数与初始条件设置
在虚拟样机中建立如下教学示例参数：质量块 m = 1.0 kg，弹簧刚度 k = 100 N/m，阻尼系数 c = 2.0 N·s/m。初始位移 x₀ = 0.05 m，初始速度 v₀ = 0。由参数可直接计算：
- 无阻尼固有频率：
ωn = √(100/1.0) = 10 rad/s，对应fn ≈ 1.59 Hz - 阻尼比：
ζ = 2.0 / (2·√(100·1.0)) = 0.10 - 有阻尼固有频率：
ωd = ωn·√(1-ζ²) ≈ 9.95 rad/s - 衰减包络时间常数：
τ = 1/(ζωn) = 1.0 s
在虚拟样机中，将质量块约束为仅沿水平方向平动，弹簧一端固定于地面参考点，另一端连接质量块；阻尼器与弹簧并联布置。初始位移通过将质量块平移 0.05 m 后释放实现。
仿真设置与响应提取
在虚拟样机中设置仿真时间为 2.5 s，求解步长建议不大于 0.001 s（即每周期至少采样 60 点以上），以保证峰值与周期提取精度。仿真输出质量块位移 x(t) 的时间历程。从响应曲线中可提取以下特征量：
- 固有频率验证：相邻同向峰值时间间隔即为有阻尼周期
Td，ωd = 2π/Td，再反算ωn = ωd/√(1-ζ²)，与理论值10 rad/s对比。 - 阻尼比提取：采用对数衰减率法，取第
n个与第n+1个同向峰值Aₙ、Aₙ₊₁，计算δ = ln(Aₙ/Aₙ₊₁)，则ζ = δ/√(4π²+δ²)。 - 衰减包络：包络线
±x₀·e^(-ζωn·t)应与仿真曲线峰值吻合，用于直观判断阻尼比是否设置正确。
结果判读与参数影响分析
以示例参数运行仿真后，预期响应为衰减振荡：初始位移 0.05 m，约 0.63 s 完成一个周期，经过约 1 s 后振幅衰减至初始值的 1/e ≈ 36.8%。若仿真曲线峰值与包络线偏差较大，应检查阻尼器连接方向、弹簧预紧力或积分器设置。
为分析刚度与质量的影响，可保持 c = 2.0 N·s/m 不变，分别改变 k 和 m 进行对比仿真：
| 工况 | m (kg) | k (N/m) | c (N·s/m) | ωn (rad/s) | ζ | 预期现象 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 基准 | 1.0 | 100 | 2.0 | 10.0 | 0.10 | 衰减振荡，约 0.63 s/周期 |
| 刚度加倍 | 1.0 | 200 | 2.0 | 14.14 | 0.071 | 频率升高，周期缩短至约 0.45 s |
| 质量加倍 | 2.0 | 100 | 2.0 | 7.07 | 0.141 | 频率降低，周期延长至约 0.90 s |
| 阻尼加倍 | 1.0 | 100 | 4.0 | 10.0 | 0.20 | 衰减更快，振荡次数减少 |
通过对比各工况的仿真曲线，可直观验证：固有频率仅由 k 和 m 决定，阻尼比同时受三者影响；刚度增大使振动加快，质量增大使振动变慢，阻尼增大使衰减加速。若需进一步验证，可将仿真提取的 ωn 与 ζ 填入上表并与理论值对比，偏差应控制在 2% 以内（取决于步长与峰值识别精度）。
ζ 较小（如 0.05 以下），相邻峰值衰减不明显，应增加间隔周期数。