4. 含中心点的配方试验交互作用图趋势判断

为什么要在 2² 设计上补中心点

2² 全因子设计只有 (±1, ±1) 四个角点，它能估计两个主效应和 1 个交互项，但模型里没有任何项能描述“响应面在中心区域是否弯曲”。补做 中心点重复（因子水平取 0,0）后，同一模型多出一个可检验的自由度：如果中心点实测均值与四角点预测值之间存在系统性偏差，就说明平面模型不足，需要引入二次项（x₁²、x₂²，必要时再加 x₁x₂ 之外的弯曲项）。

本例沿用配方场景：因子 A 为乳化剂用量（低 1.0%、高 3.0%），因子 B 为均质温度（低 40 ℃、高 60 ℃），响应 y 为乳化稳定性指数（0–100，越大越好）。在四角点各做 1 次的基础上，中心点 (2.0%, 50 ℃) 重复 3 次，共 7 次试验。

试验数据与中心点弯曲检验

下表为教学示例数据（示例值，非实测）。四角点响应与中心点重复值如下：

用四角点拟合含交互项的平面模型 ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂，可得 b₀ = 70.0、b₁ = 6.0、b₂ = 3.25、b₁₂ = 1.25。于是中心点 (0,0) 的模型预测值为 ŷ₀ = 70.0。中心点三次重复均值 ȳ₀ = (78.0 + 79.2 + 77.4)/3 = 78.2，重复内标准差 s = 0.9165（自由度 2）。

弯曲检验（lack-of-fit for curvature）统计量：

偏差 = ȳ₀ − ŷ₀ = 78.2 − 70.0 = 8.2
纯误差方差 s² = 0.84，n₀ = 3
t = 偏差 / sqrt(s²·(1/n₀ + 1/N_f))，N_f = 4
  = 8.2 / sqrt(0.84 × (1/3 + 1/4))
  = 8.2 / sqrt(0.84 × 0.5833)
  = 8.2 / 0.7000 ≈ 11.7
|t| 远大于 t(0.975, 2) ≈ 4.30 → 弯曲显著

结论：中心点均值比平面模型预测高出 8.2 个单位，且远超重复误差可解释的范围，说明响应面在中心区域明显上凸，平面模型不足，应引入二次项（至少 x₁²、x₂²）建立二阶模型。

带中心点信息的交互作用图怎么读

常规交互作用图只画两条（或多条）角点连线。加入中心点后，应在每条因子水平线的中点位置标出中心点实测均值，并叠加平面模型的预测线，从而直接看出“实测中心点是否落在预测线上”。

读图顺序：先看两条角点连线（蓝、橙）是否平行——本例两条线斜率接近（约 4.75 与 7.25 每单位 A），交互作用存在但不强；再看绿色实心点（中心点实测均值）是否落在灰色虚线空心点（平面模型在中心的预测）附近。本例绿点明显高于灰点，红色虚线标出 +8.2 的弯曲偏差，这就是“中心区域弯曲”的直接视觉证据。

从图到模型：是否引入二次项

弯曲显著后，下一步是把模型从一阶升级为二阶。用 7 个试验点可拟合含 x₁²、x₂² 的模型（x₁x₂ 保留）：

模型：y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₁₂x₁x₂ + β₁₁x₁² + β₂₂x₂² + ε

用本例 7 点做最小二乘（示例计算，保留两位小数）：
  b₀ ≈ 78.20
  b₁ ≈ 6.00
  b₂ ≈ 3.25
  b₁₂ ≈ 1.25
  b₁₁ ≈ −4.45
  b₂₂ ≈ −3.95

二次项系数均为负 → 响应面开口向下，中心附近存在极大值，
与“中心点上凸”的图形判断一致。

注意：7 个点拟合 6 个参数只剩 1 个残差自由度，参数估计很不稳定，只能作为“是否需要二次项”的方向性判断。工程上若要可靠估计二阶曲面，应补充轴点（star points）或增加中心点重复，形成可用的响应面设计（如中心复合设计 CCD）。本例的任务边界是判断是否需要引入二次项，而不是直接交付最终优化模型。

可复用的判断清单

• 中心点是否至少重复 2 次以上？只有 1 次时无法估计纯误差，弯曲只能定性看。
• 先拟合不含二次项的一阶+交互模型，算出中心点预测值 ŷ₀。
• 计算偏差 Δ = ȳ₀ − ŷ₀，并用 t 检验（自由度 = 中心点重复数 − 1）判断显著性。
• 在交互作用图上同时标出：角点预测线、中心点实测均值、中心点预测值、偏差箭头。
• 弯曲显著 → 引入 x₁²、x₂²；弯曲不显著 → 保留一阶+交互模型即可，不必增加试验。
• 二次项系数符号要与图形弯曲方向一致（本例均为负、图上上凸），作为交叉验证。