1. 两因子全因子试验的交互作用图初判
场景与设计：2² 全因子配方试验
本节用一个具体的配方场景完成从设计到交互作用图初判的闭环。研究对象是某水性涂料配方中的两个连续因子：分散剂用量 A（占颜料质量百分比）与固化温度 B（℃）。响应指标为涂层附着力（划格法，0–5 级，数值越大越好）。
两因子各取两个水平，构成 2² = 4 个角点，每点重复 2 次，共 8 次试验。水平编码采用 ±1 约定：低水平记 −1，高水平记 +1，中心点仅用于后续弯曲检验，本例不纳入交互作用图初判。
| 因子 | 低水平（−1） | 高水平（+1） | 单位 |
|---|---|---|---|
| A 分散剂用量 | 0.8 | 1.6 | % |
| B 固化温度 | 140 | 170 | ℃ |
试验顺序随机化，避免时间漂移混入因子效应。下表为教学示例数据（假设值，用于演示判读逻辑，非实测结果）：
| 标准序 | A 编码 | B 编码 | A 实际 | B 实际 | 附着力（重复1） | 附着力（重复2） | 均值 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | 0.8 | 140 | 3.1 | 3.3 | 3.2 |
| 2 | +1 | −1 | 1.6 | 140 | 4.2 | 4.0 | 4.1 |
| 3 | −1 | +1 | 0.8 | 170 | 3.6 | 3.4 | 3.5 |
| 4 | +1 | +1 | 1.6 | 170 | 3.9 | 4.1 | 4.0 |
交互作用图的构造逻辑
交互作用图把其中一个因子放在横轴，另一因子按水平画成两条响应曲线。判断规则只有一条核心：两条线是否平行。
- 平行：B 的效应不随 A 变化，A 的效应也不随 B 变化，交互作用可忽略。
- 明显不平行：一个因子的效应量随另一因子水平改变，存在交互作用。
- 交叉：交互作用更强，甚至出现“某水平下有利、另一水平下有害”的反转，此时主效应单独解读会误导。
用均值差量化：在 B=−1 时，A 从 −1 到 +1 的效应为 4.1 − 3.2 = +0.9；在 B=+1 时，同一效应为 4.0 − 3.5 = +0.5。两个斜率不同（0.9 对 0.5），说明 A 的效应被 B 削弱，存在交互作用。同理，B 的效应在 A=−1 时为 3.5 − 3.2 = +0.3，在 A=+1 时为 4.0 − 4.1 = −0.1，方向发生改变，这是交叉趋势的典型信号。
判读与结论
从图中可直接读出三点：
- 两条线不平行，B 低水平时 A 的斜率更陡，说明 A 的增益在低温固化时更明显。
- 两条线未完全交叉，但 B 的效应在 A 高用量时由正转负（+0.3 → −0.1），属于弱交叉趋势。
- 因此本例应判定存在交互作用，不能只报告“A 主效应 +0.7、B 主效应 +0.1”就下结论；主效应是两水平下的平均，会掩盖 A 在高用量时对温度不敏感这一事实。
初判只回答“有没有交互、方向如何”。交互项是否统计显著，需要后续用方差分析中的交互项 p 值交叉验证；图形判读与统计检验应互为印证，而不是互相替代。
若两条线看似不平行但差异很小，不要急于下结论。重复试验的随机误差会制造“假不平行”，此时应结合重复间的离散程度或残差判断，避免把噪声当成交互作用。
本例的实践要点是：先固定一个因子看另一因子的效应量是否随水平改变，用均值差而非目测斜率做量化，再决定是否需要保留交互项进入后续模型。