3. 交互作用图与方差分析结果的交叉验证

为什么要把交互作用图和方差分析放在一起看

交互作用图是“看图说话”，方差分析是“算账定性”。两者回答的是同一个问题——因子 A 的效应是否随因子 B 的水平而改变——但证据形式不同：交互作用图给出的是响应均值随因子水平变化的几何形态（平行、发散、交叉），方差分析给出的是交互项 A×B 的 p 值（在给定误差估计下，观测到的交互效应是否可能仅由随机波动造成）。

交叉验证的核心逻辑是：图中“明显不平行”应当对应 p 值显著；图中“基本平行”应当对应 p 值不显著。当二者矛盾时，问题往往不在“图”或“表”本身，而在数据质量、误差估计方式或模型设定上。

用同一组数据走通两条证据链

下面用一组 2² 全因子配方试验数据（因子 A：反应温度，低 60 ℃ / 高 80 ℃；因子 B：催化剂用量，低 1.0 % / 高 2.0 %；响应：收率 %），每个处理组合重复 2 次，共 8 次试验。数据为教学示例，用于演示交叉验证流程。

第一步：从均值看交互形态。固定 B 低时，A 从低到高使收率增加 79.25 − 72.75 = +6.50；固定 B 高时，A 的效应为 80.75 − 75.75 = +5.00。两个简单效应不相等（差 1.50），说明两条线不平行，但方向相同、未交叉——属于“弱交互”形态。再看 B 的简单效应：A 低时为 +3.00，A 高时为 +1.50，同样不相等。

第二步：用方差分析量化。2² 设计有重复时，交互平方和可由四格均值直接算出：

SS_AB = n · (ȳ_ab − ȳ_a − ȳ_b + ȳ_(1))² / 4
      = 2 × (80.75 − 79.25 − 75.75 + 72.75)² / 4
      = 2 × (−1.50)² / 4 = 1.125

误差平方和（组内）：
SS_E = Σ(重复值 − 组均值)²
     = (0.65²+0.65²) + (0.65²+0.65²) + (0.55²+0.55²) + (0.35²+0.35²)
     = 0.845 + 0.845 + 0.605 + 0.245 = 2.54
df_E = 4（4 组 × (2−1)）

MS_AB = 1.125 / 1 = 1.125
MS_E  = 2.54 / 4  = 0.635
F_AB  = 1.125 / 0.635 ≈ 1.77
查表：F(1,4) 在 α=0.05 的临界值 ≈ 7.71 → p ≈ 0.25，不显著

不一致时怎么定位原因

假设上例中交互作用图出现明显交叉，但方差分析 A×B 的 p 值却很大（例如 0.4），这就是典型的不一致。按以下顺序排查，而不是直接改结论：

• 误差自由度是否太小：若没有重复、也没有中心点，误差项只能靠高阶交互合并，MS_E 可能被严重高估，导致 F 值偏小、p 值偏大。此时“图交叉但表不显著”很常见，应补重复或中心点。
• 是否存在异常值：单个离群点会把某格均值拉偏，制造出虚假的交叉形态。回到原始数据核对每格重复值，画残差图确认。
• 模型是否遗漏项：若真实响应面有弯曲（如中心点显著高于四角均值），仅用一阶模型拟合时，弯曲会被“挤”进交互项或残差，造成图与表错位。应检查中心点并考虑二次项。
• 因子水平编码与尺度：两水平间距不等或未做 ±1 编码时，交互平方和的计算基准会偏移，需统一编码后再比较。