2. 三因子全因子试验的交互作用图矩阵解读

三因子两水平全因子试验的交互作用图矩阵

本节使用一个烘焙配方场景：三个因子均为两水平，响应为蛋糕比容（mL/g）。因子与水平如下：

• 因子 A：糖添加量，低水平 20%，高水平 30%
• 因子 B：油脂添加量，低水平 15%，高水平 25%
• 因子 C：烘烤温度，低水平 170 ℃，高水平 190 ℃

采用 2³ 全因子设计，共 8 个处理组合，每个组合做 2 次重复，共 16 次试验。下表为教学示例数据（示例数据，非实测结果），响应为比容均值：

交互作用图矩阵的构成与读图规则

三因子共有 3 个两两组合：A×B、A×C、B×C。交互作用图矩阵把每个组合画成一张“折线图”：横轴为其中一个因子，两条折线分别代表另一个因子的低水平与高水平，纵轴为响应均值。判断规则只有一条核心：两条折线平行 → 无交互；两条折线明显不平行（收敛、发散或交叉）→ 存在交互。不平行程度越大，交互越强。

与之相对，主效应图把每个因子单独画成一条“响应均值随水平变化”的折线，它只回答“该因子从低到高时响应平均变化多少”，无法反映“一个因子的效应是否依赖另一个因子的水平”。这正是主效应图与交互作用图的分工：主效应图看平均趋势，交互作用图看趋势是否随条件改变。

逐对判断交互作用

按矩阵中三张图逐一判读（数值为按上表计算的各水平组合均值）：

• A×B：有交互。B 低时，A 从低到高使比容由 4.01 升至 4.27（+0.26）；B 高时，A 从低到高使比容由 3.86 降至 3.79（−0.07）。A 的效应方向随 B 水平反转，两条折线明显不平行，属于强交互。配方含义：高糖在低油脂时有利，在高油脂时反而略微不利。
• A×C：交互弱。C 低时 A 的效应为 +0.09，C 高时 A 的效应为 +0.09，两条折线几乎平行，可近似认为 A 与 C 无显著交互。
• B×C：有交互。C 低时 B 从低到高使比容由 3.94 降至 3.58（−0.36）；C 高时 B 的效应为 4.34→4.07（−0.27）。两条折线斜率差异明显，存在中等强度交互，且 B 的负效应在低温下更强。

主效应图与交互作用图的分工

从主效应图看：C 的斜率最大（约 +0.45），B 次之（约 −0.32），A 最小（约 +0.09）。若只看主效应图，会得出“A 几乎无用、B 越大越差”的结论。但交互作用图揭示了被平均掩盖的事实：A 的效应在 B 低时是 +0.26，在 B 高时是 −0.07，正负抵消后才显得“几乎无用”。因此主效应图回答“平均而言谁重要”，交互作用图回答“这个重要性是否随条件改变”，两者必须结合使用，不能互相替代。