4. 二水平试验正交表选择
六因素二水平试验的表型取舍
六因素二水平试验的候选表型通常落在 L8(2⁷) 与 L12(2¹¹) 之间。两者都是二水平正交表，但自由度分配逻辑完全不同：L8(2⁷) 共 7 列，每列 1 个自由度，总自由度 7；六因素主效应占 6 个自由度，只剩 1 列余量。L12(2¹¹) 共 11 列，总自由度 11，六因素主效应占 6 个自由度后仍有 5 列余量。因此取舍的核心不是"表越大越好"，而是六因素主效应之外是否还需要容纳交互作用。
先明确自由度账目。二水平因素每个主效应自由度 = 水平数 − 1 = 1；两因素交互作用自由度 = 1×1 = 1。六因素主效应共 6 个自由度。若试验需要考察 1 个交互作用，总需求为 7 个自由度，恰好等于 L8(2⁷) 的总自由度，但 L8 的 7 列中 6 列已被主效应占用，仅剩 1 列，且该列与主效应是否混杂取决于表头安排——L8(2⁷) 是饱和表，任何交互作用列都会与某个主效应列重合，无法实现"主效应与交互作用都不混杂"。若需考察 2 个及以上交互作用，L8 直接不可行。
表头安排的实际差异
以六因素 A、B、C、D、E、F 为例，若只关心主效应，L8(2⁷) 的表头安排为：A、B、C、D、E、F 依次占第 1～6 列，第 7 列留空作为误差估计列。此时任何交互作用都混入第 7 列或与主效应列重合，因此结论只能表述为"在未考察交互作用的条件下，主效应显著"。若试验者怀疑 A 与 B 存在交互作用，则必须改用 L12(2¹¹)：A～F 占第 1～6 列，A×B 安排到第 7 列（或按交互作用表指定的列），其余 4 列留作误差或其他交互列。
需要提醒的是，L12(2¹¹) 的列间正交关系与 L8(2⁷) 不同，交互作用列的位置不能照搬 L8 的交互作用表。实际安排时应查阅所选正交表自带的交互作用列表，或采用"先排主效应、再按交互作用表定位交互列、剩余列合并为误差"的顺序，避免凭经验硬套。
| 比较项 | L8(2⁷) | L12(2¹¹) |
|---|---|---|
| 试验次数 | 8 | 12 |
| 总自由度 | 7 | 11 |
| 六因素主效应占用 | 6 列 | 6 列 |
| 剩余列 | 1 列 | 5 列 |
| 可容纳交互作用数 | 0（饱和，交互必混杂） | 最多 5（可分离） |
| 误差自由度 | 约 1，检验灵敏度低 | 约 4～5，检验灵敏度较高 |
| 适用场景 | 筛选试验，只关心主效应 | 需分辨交互作用或需可靠误差估计 |
选型判断的落地口径
- 列出全部因素，确认均为二水平，主效应自由度合计 = 因素数 = 6。
- 明确试验目的：仅筛选主效应，还是需要判断交互作用。列出必须考察的交互作用对，计为 k。
- 计算所需自由度 = 6 + k。若 k = 0 且可接受交互并入误差，选 L8(2⁷)；若 k ≥ 1，选 L12(2¹¹)。
- 按所选表的交互作用列表定位交互列，剩余列合并为误差列，记录误差自由度。
- 核对误差自由度是否足以支撑 F 检验：误差自由度太小（如 1）时，显著性判断的可靠性下降，此时即使 k = 0 也可考虑 L12 以换取更稳的误差估计。