1. 正交表选择基础
三因素三水平试验的自由度账本
正交表选型的第一步不是翻表，而是算自由度。三因素三水平试验中，每个因素的自由度 f = 水平数 − 1 = 2，三因素合计 3 × 2 = 6。正交表的总自由度必须不小于 6，否则无法为每个因素分配独立的列。常用三水平表中，L9(3⁴) 的总自由度为 4 × 2 = 8，L27(3¹³) 为 13 × 2 = 26。满足要求且试验次数最少的是 L9(3⁴)：9 次试验、4 列、每列 3 水平，用 3 列安排三因素，剩余 1 列留作空列估计误差。
选型判断的三条硬约束
从候选表到最终表型，需要同时满足以下条件，缺一不可：
- 自由度约束：表的总自由度 ≥ 因素自由度之和。L9(3⁴) 的 8 ≥ 6，成立；若因素增至 5 个（f需 = 10），L9 就不够用，必须升到 L27。
- 列数约束：表列数 ≥ 需安排的因素数（含必要的空列）。L9 有 4 列，安排 3 因素后仍留 1 列空列，满足误差估计需求。
- 水平数一致：表型括号内为 3，与因素水平数 3 一致，不能拿 L8(2⁷) 这类二水平表硬套三水平因素。
在满足上述约束的所有表型中，按试验次数升序排列，取第一个即为“最少试验次数”方案。三水平表的常见序列为 L9 → L27，因此三因素三水平直接锁定 L9(3⁴)。
表头安排与空列处理
选定 L9(3⁴) 后，将 A、B、C 依次放入第 1、2、3 列，第 4 列留空。空列不是浪费：它提供了一份不含因素效应的对照信息，可用于估计试验误差，从而在方差分析中判断各因素效应是否显著。若把 4 列全部塞满因素，就没有误差项，显著性检验将失去依据。
用示例数据验证选型是否可用
设某化工过程考察温度 A、时间 B、催化剂用量 C，各取 3 水平，指标为收率（%）。按上表前 5 行及后续 4 行补全 9 次试验，得到示例数据（教学假设值）：
| 试验号 | A | B | C | 空列 | 收率/% |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 72.1 |
| 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 75.4 |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 3 | 74.0 |
| 4 | 2 | 1 | 2 | 3 | 78.6 |
| 5 | 2 | 2 | 3 | 1 | 80.2 |
| 6 | 2 | 3 | 1 | 2 | 77.3 |
| 7 | 3 | 1 | 3 | 2 | 76.8 |
| 8 | 3 | 2 | 1 | 3 | 79.1 |
| 9 | 3 | 3 | 2 | 1 | 81.5 |
按列计算各因素同一水平下收率之和 K₁、K₂、K₃ 及极差 R：
A 列：K1=72.1+75.4+74.0=221.5，K2=78.6+80.2+77.3=236.1，K3=76.8+79.1+81.5=237.4
R_A = (237.4−221.5)/3 = 5.30
B 列：K1=72.1+78.6+76.8=227.5，K2=75.4+80.2+79.1=234.7，K3=74.0+77.3+81.5=232.8
R_B = (234.7−227.5)/3 = 2.40
C 列：K1=72.1+77.3+79.1=228.5，K2=75.4+78.6+81.5=235.5，K3=74.0+80.2+76.8=231.0
R_C = (235.5−228.5)/3 = 2.33
空列：K1=72.1+80.2+81.5=233.8，K2=75.4+77.3+76.8=229.5，K3=74.0+78.6+79.1=231.7
R_空 = (233.8−229.5)/3 = 1.43判断依据：空列极差 1.43 明显小于三个因素极差，说明试验误差水平较低，因素效应可辨识；A 的极差最大，为主要影响因素。若空列极差与某因素极差相当甚至更大，则提示该因素效应可能被误差淹没，或存在未考虑的交互作用，此时应考虑改用更大表型（如 L27）以分离交互作用。
选型结果与记录要点
本例结论：三因素三水平试验选用 L9(3⁴)，A/B/C 依次占第 1/2/3 列，第 4 列空列用于误差估计；9 次试验即可完成，满足自由度 8 ≥ 6 且为最少试验次数方案。
记录时至少保留：表型（L9(3⁴)）、因素与列号对应关系、各因素水平定义、空列位置、每号试验的实际参数与指标值。这套记录是后续极差分析与方差分析的唯一数据来源，列号错位会直接导致结论错误。