📚 课程目录第4章混杂别名结构的代数表达

4. 混杂别名结构的代数表达

在二水平部分因子设计中，每一个因子只有“低水平”和“高水平”两种状态。为了把混杂结构变成可以推导、可以编程计算的对象，我们通常把低水平编码为 0、高水平编码为 1，或者采用 ±1 编码。本节采用 0/1 编码，并约定：因子的幂次只取 0 或 1，任何幂次按模 2 化简，即 x² = x、x⁰ = 1。这一约定是后续所有代数运算的基础，务必先固定下来，全文与图示保持一致。

在这个约定下，一个设计中的任意效应都可以写成一个“字”（word），即若干因子的一次幂之积。例如 A、B、C 三个因子，主效应 A 对应多项式 x_A，交互效应 AB 对应 x_A·x_B，三阶交互 ABC 对应 x_A·x_B·x_C。所谓“混杂别名结构”，就是问：在这个设计里，哪两个（或更多）效应在数据上无法区分？代数上，这等价于问：它们的字相乘后，是否等于设计定义关系（defining relation）中的某个字。

一、从生成元到定义关系：模2乘法的核心操作

考虑一个 2^(3-1) 设计，即三个因子、只做 4 次试验的一半实施。设生成元为 C = AB，用 0/1 编码写成多项式关系：x_C = x_A·x_B。把等式两边同乘 x_C（因为 x_C² = x_C，模 2 下幂次化简），得到：

x_A·x_B·x_C = x_C·x_C = x_C² = x_C

更规范的做法是把生成关系写成“等于单位元 I”的形式。定义 I 为全 1 列（对应多项式 1）。由 C = AB 两边同乘 C，得 I = ABC。这里的 ABC 就是该设计的定义关系字，记作 I = ABC。它说明：在这个设计中，三阶交互 ABC 与总体均值（单位元）完全混杂，因此 ABC 无法被估计。

有了定义关系，任何效应的别名都可以通过“该效应字 × 定义关系字”得到。例如求 A 的别名：

A × (ABC) = A·A·B·C = (A²)·B·C = A·B·C = ABC

因为 A² 按模 2 化简为 A（在 0/1 编码下 A² = A），所以 A 与 BC 互为别名。同理 B 与 AC 别名，C 与 AB 别名。这正是我们熟悉的 2^(3-1) 分辨率 III 设计的混杂结构：主效应两两与二阶交互混杂。

记忆要点：求别名时，把“待求效应字”与“定义关系字”做模 2 乘法，化简后得到的字就是它的别名伙伴。若结果等于 I，说明该效应与均值混杂，不可估计。

二、用多项式表示多个生成元的情形

当设计有多个生成元时，定义关系不止一个，而是由所有生成元字及其两两、三三……的模 2 乘积共同构成一个“定义关系组”。以 2^(5-2) 设计为例，设生成元为 D = AB、E = AC。先写出两个基本关系：I = ABD、I = ACE。再把它们相乘：

(ABD)(ACE) = A·A·B·C·D·E = A·B·C·D·E = ABCDE

于是定义关系组为 {I, ABD, ACE, ABCDE}。注意 A·A = A² = A，所以乘积中 A 只保留一次。这个关系组是封闭的：任意两个关系字相乘，结果仍在组内。它构成了判断别名的“完整字典”。

求某个效应的全部别名时，只需把它与关系组中每个非 I 的字逐一相乘。例如求 D 的别名：D×ABD = AB（因 D² = D），D×ACE = ACDE，D×ABCDE = ABCE。所以 D 的别名集合是 {AB, ACDE, ABCE}。这意味着在这个设计里，主效应 D 与二阶交互 AB、四阶交互 ACDE、四阶交互 ABCE 全部混杂，无法单独估计。

三、把别名结构写成可计算的算法

手工推导容易出错，尤其是因子数较多时。由于模 2 运算与二进制异或（XOR）天然对应，我们可以把每个字表示成一个位向量：第 i 位为 1 表示该字包含第 i 个因子。于是“两字相乘”就变成“两个位向量按位异或”，因为相同因子出现两次会抵消（A·A = A² = A，在 0/1 编码下等价于该因子只保留一次，位运算中表现为 1 XOR 1 = 0 的抵消语义需按编码约定处理）。更稳妥的做法是：用集合的对称差实现乘法，即两字相乘 = 两因子集合的对称差。下面给出一个可直接运行的 Python 示例，用于生成定义关系组并求任意效应的别名集合：

from itertools import combinations

def word_mul(w1, w2):
    # 字用 frozenset 表示因子集合；模2乘法 = 对称差
    return frozenset(w1) ^ frozenset(w2)

def defining_group(generators):
    # generators: 生成元字列表，如 [{'A','B','D'}, {'A','C','E'}]
    group = {frozenset()}          # 单位元 I
    frontier = [frozenset(g) for g in generators]
    while frontier:
        w = frontier.pop()
        if w in group:
            continue
        group.add(w)
        for g in generators:
            nxt = word_mul(w, frozenset(g))
            if nxt not in group:
                frontier.append(nxt)
    return group

def aliases(effect, group):
    e = frozenset(effect)
    return sorted(''.join(sorted(word_mul(e, g))) for g in group if g)

gens = [{'A','B','D'}, {'A','C','E'}]
G = defining_group(gens)
print("定义关系组:", sorted(''.join(sorted(w)) or 'I' for w in G))
print("D 的别名:", aliases({'D'}, G))

运行这段代码（示例输出，非实测）：定义关系组为 ['I', 'ABD', 'ACE', 'ABCDE']，D 的别名为 ['AB', 'ABCE', 'ACDE']，与手工推导完全一致。这种“集合对称差”的实现方式把代数运算变成了可复用的程序，便于在因子数较多、生成元较复杂时批量检查混杂结构。

四、用别名结构反推设计的分辨率与可用性

得到别名集合后，一个重要的判读动作是看“最短别名长度”。若某主效应的别名中包含二阶交互，说明主效应与二阶交互混杂，该设计的分辨率至多为 III，主效应估计会受到二阶交互污染，通常只适合筛选试验。若所有主效应的别名最短为三阶交互，则分辨率为 IV，主效应可干净估计，但二阶交互之间可能互相混杂。上例中 D 的别名含 AB（二阶），故该 2^(5-2) 设计为分辨率 III，主效应不可靠，需要谨慎解释。

效应字	与关系组相乘	别名伙伴	最短别名阶数
A	A×ABD, A×ACE, A×ABCDE	BD, CE, BCDE	2（与 BD、CE 混杂）
D	D×ABD, D×ACE, D×ABCDE	AB, ACDE, ABCE	2（与 AB 混杂）
AB	AB×ABD, AB×ACE, AB×ABCDE	D, BCE, CDE	1（与主效应 D 混杂）

表中 AB 与 D 互为别名，进一步印证了分辨率 III 的判断：二阶交互 AB 与主效应 D 无法区分。实际分析时，如果 D 显著，我们不能直接断言是 D 起作用，也可能是 AB 在起作用，必须结合工程知识或追加试验来区分。

常见错误：把“别名”理解为“两个效应数值相等”。别名是指两个效应在本次设计的观测数据中线性组合在一起、无法分离，而不是它们真实效应相同。代数表达只是告诉我们“谁和谁绑在一起”，不提供分离它们的信息。

五、代数表达的工程价值

把混杂结构写成模 2 多项式与定义关系组，最大的价值在于“可计算、可核查、可复用”。设计生成元一旦确定，定义关系组和全部别名集合就可以由程序自动生成，避免人工推导遗漏；在试验方案评审阶段，可以直接检查是否存在“主效应与二阶交互混杂”这类高风险别名；在数据分析阶段，也能明确哪些项可以进入模型、哪些项必须合并或舍弃。建议在每次使用部分因子设计前，先用上述算法输出完整的别名表，再结合分辨率要求决定是否调整生成元或增加试验次数。

需要强调的是，模 2 运算的化简规则（A² = A）与 0/1 编码约定必须前后一致。若改用 ±1 编码，则 A² = 1，乘法规则变为符号相乘，别名推导的中间形式会不同，但最终的混杂结论应当一致。实际教学中建议固定一种编码贯穿始终，避免在推导过程中混用导致符号错误。