2. 二水平部分因子设计基础回顾
要读懂部分因子设计的混杂结构，先要把一套符号和术语约定清楚。本节不追求把试验设计理论讲全，而是围绕后续判读混杂所必需的概念建立统一语言：因子与水平如何编码、主效应与交互效应如何用符号表示、部分实施为什么会产生混杂、生成元与定义关系如何把“实施了哪一部分”写成可计算的代数式。掌握这套表示后，看到任意一个生成元，就能推算出哪些效应被绑定在一起。
因子、水平与效应符号
二水平设计中，每个因子只取两个水平。课程统一采用“低水平记 −1、高水平记 +1”的编码约定，全文与图示保持一致。若因子为温度，低水平 150 ℃ 记 −1，高水平 170 ℃ 记 +1；若因子为时间，低水平 30 min 记 −1，高水平 40 min 记 +1。编码的好处是把不同量纲的因子统一到同一尺度，使效应大小可以直接比较。
效应符号采用标准记法：单因子主效应用小写字母表示，如因子 A 的主效应记作 a，因子 B 的主效应记作 b；交互效应用因子字母并列表示，如 A 与 B 的二阶交互记作 ab，A、B、C 的三阶交互记作 abc。为便于代数运算，通常再引入一个恒等列，记作 I，它对应全为 +1 的列，代表总体均值。这样，一个效应的“符号串”就可以像多项式一样参与乘法运算，这是后面推导混杂关系的关键。
主效应与交互效应的直观含义
主效应衡量的是：在其他因子水平固定时，某因子从 −1 变到 +1 引起响应的平均变化。交互效应衡量的是：一个因子的效应是否依赖于另一个因子的水平。以两因子为例，若 A 的效应在 B 取 −1 时为 +3、在 B 取 +1 时为 +7，则 A 的主效应约为两者平均 +5，而 AB 交互效应为两者之差的一半，即 +2，说明 A 的效果随 B 水平升高而增强。这个“差值的一半”就是交互效应的标准定义，也是后续判读混杂时判断“谁和谁绑在一起”的量化基础。
需要强调：在完全因子设计中，主效应与各阶交互效应彼此正交，可以独立估计；而部分因子设计只实施全因子的一部分，正交性被打破，某些效应就无法再单独估计，这就是混杂的根源。
部分实施原理与生成元
部分因子设计的核心思路是：当因子较多、全因子试验次数过大时，主动放弃一部分处理组合，只实施一个“部分”，用较少的试验次数换取对主效应和低阶交互效应的估计能力，代价是高阶交互效应与低阶效应发生混杂。选择实施哪一部分，靠的就是生成元。
生成元是一个把某个高阶交互效应“等同于”恒等列 I 的等式。例如四因子设计取 8 次试验（即 24−1 设计），可令 D = ABC，写成生成元形式为 I = ABCD。它的含义是：因子 D 的水平不再独立安排，而是由 A、B、C 的乘积决定，D 列与 ABC 列完全相同。由此得到的定义关系 I = ABCD 就是该设计的“身份证”。
由定义关系可以机械地推出全部混杂关系：把定义关系两边同时乘以任意一个效应符号，利用“同一字母出现两次即为 I”的化简规则，就得到该效应的别名。例如两边乘 A，得 A = BCD，说明主效应 A 与三阶交互 BCD 混杂；两边乘 AB，得 AB = CD，说明二阶交互 AB 与 CD 混杂。若设计有多个生成元，则先把它们相乘得到全部定义关系字（包括 I 本身），再逐一乘以各效应，得到完整的别名结构。这套“乘一乘、消一消”的运算，就是下一节判读混杂结构的直接工具。
分辨率：混杂程度的等级标签
生成元不仅决定“谁和谁混杂”，还决定混杂的严重程度，这用分辨率来刻画。分辨率 Ⅲ 的设计中，主效应与二阶交互混杂；分辨率 Ⅳ 的设计中，主效应不与二阶交互混杂，但二阶交互之间两两混杂；分辨率 Ⅴ 的设计中，主效应、二阶交互都不混杂，只有二阶与三阶交互混杂。上例 I = ABCD 中定义关系字长度为 4，故为分辨率 Ⅳ 设计，主效应干净、二阶交互成对混杂，适合筛选阶段使用。
判断分辨率有一个简便规则：定义关系字中最短的那个字的字母个数，就是分辨率。若设计有多个生成元，需先求出全部定义关系字，取最短者。这条规则在后续多生成元设计中会反复用到，务必记牢。
一个可复算的示例
设某工艺筛选试验考察 A、B、C、D 四个因子，采用 24−1 设计，生成元取 D = ABC。按标准顺序，前三个因子 A、B、C 取全因子 8 个组合，D 列由 D = A×B×C 逐行计算得到。例如第一行 A=−1、B=−1、C=−1，则 D = (−1)(−1)(−1) = −1；第二行 A=+1、B=−1、C=−1，则 D = (+1)(−1)(−1) = +1。如此得到 8 行试验方案，每行即一个处理组合。
试验完成后，用各列符号与响应值做内积再除以试验次数，即可得到对应效应的估计值。由于 A 列与 BCD 列完全相同，二者估计值必然相等，无法区分，这正是“混杂”在数据上的直接体现。判读时若发现 A 的估计值显著，只能说明“A 或 BCD 中至少有一个起作用”，需结合工程判断或追加试验来分辨。