📚 课程目录第3章设计生成元与定义关系

3. 设计生成元与定义关系

在二水平部分因子设计中，生成元（generator）是“用哪些高阶交互项来替代被省略的处理”的书面约定，而定义关系（defining relation）则是把全部生成元相乘、约简后得到的“恒等关系式”。这两者一前一后，构成了判断设计分辨度的完整链条：先写生成元，再乘出定义关系字，最后看最短字的长度。本节把这条链条拆开讲清楚，并给出可手工复算的示例。

一、生成元：把“省略”写成等式

二水平部分因子设计用 2^(k-p) 表示：k 个因子、p 个生成元，实际只做 2^(k-p) 次试验。基本因子（base factors）取前 k−p 个，其余 p 个因子由基本因子的交互项定义。例如 2^(5-2) 设计，取 A、B、C 为基本因子，则

D = ABC
E = BC

这里 D=ABC、E=BC 就是生成元。注意符号约定：本文一律用“+”表示同号相乘得正、“−”表示异号，生成元写作“因子 = 交互项”的形式，等价于“因子 × 交互项 = I”。因此 D=ABC 等价于 I = ABCD，E=BC 等价于 I = BCE。这一步的等价改写是后面乘出定义关系的关键，务必先统一。

二、从生成元到定义关系字

定义关系字由所有生成元等式的乘积构成。做法是：把每个生成元写成“= I”的形式，然后两两相乘、三三相乘，直到把所有组合都列完，再用 I·I = I、A·A = I（任一因子自乘等于恒等）约简。对上面的例子：

I = ABCD
I = BCE
两式相乘：(ABCD)(BCE) = AB·B·C·C·D·E = ADE
所以定义关系为：I = ABCD = BCE = ADE

约简时逐字核对：ABCD × BCE 中 B 出现两次、C 出现两次，各自约去，剩下 A、D、E，即 ADE。最终定义关系字集合为 {ABCD, BCE, ADE}，其中字长分别为 4、3、3。定义关系字集合中最短字的长度就是该设计的分辨度，本例最短为 3，故为分辨率 III 设计。

记忆要点：定义关系字集合一定包含“全正”的 I，其余每个字都是偶数个或奇数个字母的组合；字长即该字含有的因子个数。分辨度 = min{各字字长}。

三、分辨度的判读与混杂含义

分辨度不是抽象等级，它直接告诉你“哪些效应会混在一起”。一般规律是：分辨率 III 设计中，主效应不与主效应混杂，但主效应会与二因子交互混杂；分辨率 IV 中主效应不与二因子交互混杂，但二因子交互之间会混杂；分辨率 V 中二因子交互不与二因子交互混杂，但会与三因子交互混杂。用定义关系字可以直接读出混杂对象：把某个效应乘以定义关系中的某个字，约简后得到的就是与它混杂的效应。

仍以上例 I = ABCD = BCE = ADE 为例。求 A 的混杂项：A × ABCD = BCD，A × BCE = ABCE，A × ADE = DE。于是 A 与 BCD、ABCE、DE 混杂。可见主效应 A 与二因子交互 DE 混杂，这正是分辨率 III 的典型特征。再求 AB 的混杂项：AB × ABCD = CD，AB × BCE = ACE，AB × ADE = BDE，即 AB 与 CD、ACE、BDE 混杂，二因子交互之间也发生了混杂。

四、手工构造的完整操作流程

把上面的推导固化为可复用的四步，遇到任意 2^(k-p) 设计都能照做：

定基本因子与生成元：选前 k−p 个因子为基本因子，为其余 p 个因子各写一个生成元，且生成元中只含基本因子。
改写为“= I”形式：把“因子 = 交互项”两边同乘该因子，利用因子自乘为 I，得到“I = 若干因子之积”。
两两相乘并约简：对所有“= I”式做全部两两组合（p 个生成元共 C(p,2) 个组合），逐字约去重复因子，得到全部定义关系字。
取最短字长定分辨度：统计每个字的字母个数，最小值即分辨度；再用“效应 × 各字”读出混杂对象。

再举一例验证流程。2^(6-2) 设计，基本因子 A、B、C、D，生成元 E = ABC、F = BCD。改写得 I = ABCE、I = BCDF。两式相乘：ABCE × BCDF 中 B、C 各出现两次约去，得 ADEF。定义关系为 I = ABCE = BCDF = ADEF，字长 4、4、4，最短为 4，故为分辨率 IV 设计。此时主效应不与二因子交互混杂，但二因子交互之间会混杂，例如 AB × ABCE = CE，即 AB 与 CE 混杂。

五、常见错误与核对清单

符号不统一：生成元写成“D = −ABC”时，等价式应为“I = −ABCD”，负号会影响混杂项的符号，但不影响字长与分辨度；本文示例统一取正号。
漏乘组合：p 个生成元必须做全部两两组合，漏掉一个就会漏掉定义关系字，进而误判分辨度。
约简不彻底：同一字母出现偶数次必须全部约去，出现奇数次只保留一个，否则字长统计会出错。
把“字长”当成“因子数”：字长是单个定义关系字所含字母个数，不是设计的总因子数 k。

分辨度只由定义关系字集合中最短字的长度决定，与生成元的书写顺序、正负号无关。判断时先列全定义关系字，再取最小值，不要凭生成元的“阶数”直觉下结论。

掌握这条链条后，面对任何二水平部分因子设计，都可以先写出生成元，再机械地乘出定义关系字，最后用最短字长给出分辨度，并用“效应 × 字”的方式逐一列出混杂对象。这套做法不依赖软件，适合在方案评审或试验前快速自查设计是否满足对主效应、二因子交互的估计要求。