2. 三元溶剂部分冷凝物料衡算

三元部分冷凝的衡算框架

本例处理一股含丙酮（A）、乙醇（B）、水（C）的三元混合蒸气，在给定温度 T 与压力 p 下部分冷凝。核心难点在于：冷凝后气液两相中三个组分各自重新分配，不能像二元体系那样用一个冷凝率描述，必须对每个组分分别建立相平衡与物料衡算方程，再联立求解液相总量 L 与气相总量 V。

采用平衡常数法：设进料 F、组成 z_i，冷凝后液相量 L、气相量 V，相平衡常数 K_i = y_i/x_i。对每个组分做物料衡算 F z_i = L x_i + V y_i，代入 y_i = K_i x_i 得：

x_i = F z_i / (L + V K_i)，且满足归一化 Σx_i = 1。令气化分率 ψ = V/F，则 L = F(1−ψ)，方程化为经典的闪蒸（部分冷凝）方程：

Σ [ z_i / (1 + ψ(K_i−1)) ] = 1

解出 ψ 后即可回代求各 x_i、y_i，得到液相回收量 L 与气相剩余量 V。下图给出该衡算的求解结构与各组分在两相间的分配关系。

示例计算：320 K、101.3 kPa 下的三元部分冷凝

取教学示例进料 F = 100 kmol/h，组成 z_A = 0.45、z_B = 0.35、z_C = 0.20。在 320 K、101.3 kPa 下，假定由活度系数模型与饱和蒸气压估算得到相平衡常数（示例假设值，实际应由热力学模型计算）：K_A = 2.10、K_B = 0.95、K_C = 0.32。

注意 K_A > 1 说明丙酮倾向留在气相，K_C < 1 说明水倾向进入液相，K_B ≈ 1 说明乙醇在两相间接近均分。由于存在 K_i 跨越 1 的情况，体系必然发生部分冷凝，ψ 落在 0 与 1 之间。

将数据代入闪蒸方程，令 f(ψ) = Σ z_i/(1+ψ(K_i−1)) − 1：

• ψ = 0.5：f = 0.45/(1+0.55) + 0.35/(1−0.025) + 0.20/(1−0.34) − 1 = 0.2903 + 0.3590 + 0.3030 − 1 = −0.0477
• ψ = 0.6：f = 0.45/1.66 + 0.35/0.97 + 0.20/0.592 − 1 = 0.2711 + 0.3608 + 0.3378 − 1 = −0.0303
• ψ = 0.7：f = 0.45/1.77 + 0.35/0.965 + 0.20/0.524 − 1 = 0.2542 + 0.3627 + 0.3817 − 1 = −0.0014
• ψ = 0.71：f = 0.45/1.781 + 0.35/0.9645 + 0.20/0.5172 − 1 = 0.2527 + 0.3629 + 0.3867 − 1 = +0.0023

由线性插值，ψ ≈ 0.70 + 0.01 × 0.0014/(0.0014+0.0023) ≈ 0.704。取 ψ = 0.704 回代：

• V = 100 × 0.704 = 70.4 kmol/h，L = 29.6 kmol/h
• x_A = 0.45/(1+0.704×1.10) = 0.45/1.7744 = 0.2536
• x_B = 0.35/(1+0.704×(−0.05)) = 0.35/0.9648 = 0.3628
• x_C = 0.20/(1+0.704×(−0.68)) = 0.20/0.5213 = 0.3837
• Σx = 0.2536 + 0.3628 + 0.3837 = 1.0001 ≈ 1，归一化闭合
• y_A = 2.10 × 0.2536 = 0.5326，y_B = 0.95 × 0.3628 = 0.3447，y_C = 0.32 × 0.3837 = 0.1228，Σy = 1.0001

各组分回收量校核：液相中丙酮 29.6 × 0.2536 = 7.51 kmol/h，乙醇 10.74 kmol/h，水 11.36 kmol/h；气相中丙酮 37.49 kmol/h，乙醇 24.26 kmol/h，水 8.64 kmol/h。丙酮液相回收率仅约 16.7%，说明该温度下大部分丙酮仍留在气相，若目标是回收丙酮，需要进一步降低温度或提高压力使 K_A 下降。