1. 二元溶剂混合物冷凝回收率核算

案例任务与已知条件

本例处理一股已知组成的二元溶剂蒸气（甲醇 + 水），在给定压力下经部分冷凝器降温，气液两相达到平衡后分离。任务是根据冷凝温度与气液平衡关系，算出液相回收量、气相剩余量、各组分回收率，并验证总物料衡算闭合。

设定进料条件（教学示例数据）：

• 进料流量 F = 100 kmol/h，压力 P = 101.3 kPa（恒定）
• 进料组成（摩尔分数）：甲醇 z₁ = 0.40，水 z₂ = 0.60
• 冷凝温度 T = 70 ℃，气液两相平衡后分离

该温度下甲醇—水体系的相平衡常数（示例取值，来自简化 Antoine 关系估算）：K₁ = 1.85（甲醇），K₂ = 0.42（水）。

相平衡与物料衡算方程

部分冷凝器出口气液两相平衡，满足 yᵢ = Kᵢ·xᵢ。设液相分率为 L/F = ψ，则气相分率 V/F = 1 − ψ。对每个组分做物料衡算：

F·zᵢ = L·xᵢ + V·yᵢ = F·ψ·xᵢ + F·(1−ψ)·Kᵢ·xᵢ

整理得：

xᵢ = zᵢ / [ψ + (1−ψ)·Kᵢ]

再由归一化条件 Σxᵢ = 1 求解 ψ：

Σ zᵢ / [ψ + (1−ψ)·Kᵢ] = 1

这是一个关于 ψ 的一元方程，用试差或数值求根即可。求出 ψ 后，各组分液相量 Lᵢ = F·ψ·xᵢ，气相量 Vᵢ = F·(1−ψ)·yᵢ，组分回收率 ηᵢ = Lᵢ / (F·zᵢ)。

求解过程

代入 z₁=0.40、z₂=0.60、K₁=1.85、K₂=0.42，构造归一化函数：

f(ψ) = 0.40 / [ψ + 1.85(1−ψ)] + 0.60 / [ψ + 0.42(1−ψ)] − 1

化简分母：第一项分母 = 1.85 − 0.85ψ，第二项分母 = 0.42 + 0.58ψ。

试差：

ψ ≈ 0.95 时 Σxᵢ ≈ 1.0016，已很接近 1。继续微调：ψ = 0.96 时，第一项 = 0.40/1.0340 = 0.3868，第二项 = 0.60/0.9768 = 0.6143，Σ = 1.0011；ψ = 0.97 时 Σ ≈ 1.0006。取 ψ ≈ 0.97 作为解（教学示例值，实际可用数值求根精确到 0.001）。

各组分流量与回收率

取 ψ = 0.97，则 L = 97.0 kmol/h，V = 3.0 kmol/h。

液相组成：

• x₁ = 0.40 / [0.97 + 0.03×1.85] = 0.40 / 1.0255 = 0.3901
• x₂ = 0.60 / [0.97 + 0.03×0.42] = 0.60 / 0.9826 = 0.6106
• Σx = 1.0007 ≈ 1（归一化误差 0.07%，可接受）

气相组成：

• y₁ = K₁·x₁ = 1.85 × 0.3901 = 0.7217
• y₂ = K₂·x₂ = 0.42 × 0.6106 = 0.2565
• Σy = 0.9782（因 x 归一化误差传递，实际应再归一化；此处保留原始值用于衡算校验）

组分流量与回收率：

总物料衡算闭合验证

按组分校验：

• 甲醇：37.84 + 2.17 = 40.01 vs 进料 40.0，偏差 0.025%
• 水：59.23 + 0.77 = 60.00 vs 进料 60.0，偏差 0%
• 总量：97.07 + 2.94 = 100.01 vs 100.0，偏差 0.01%

偏差主要来自 ψ 取 0.97 的舍入以及 x 未严格归一化。若用数值求根把 ψ 精确到使 Σxᵢ = 1，则各组分衡算偏差可压到 0.001 kmol/h 量级。工程上通常以「各组分 Lᵢ+Vᵢ 与 F·zᵢ 的相对偏差 < 0.5%」作为衡算闭合的通过判据，本例满足。

结果判读与操作要点

• 回收率差异：水 98.7% 明显高于甲醇 94.6%，因为水在该温度下 K 值小、更易冷凝。若目标是回收甲醇，需进一步降温或提高压力。
• 气相量仅 3 kmol/h，但甲醇占 2.17 kmol/h，说明尾气中甲醇浓度高（y₁≈0.72），后续尾气处理不能忽视。
• ψ 对温度敏感：K 值随温度变化，降温会使 K 减小、ψ 增大。实际核算应使用对应温度下的 K 值或活度系数模型，而非固定值。
• 衡算闭合是核算正确性的底线检查，任何回收率结果都必须伴随 L+V=F 与逐组分闭合验证。