4. 手眼标定问题建模：眼在手上与眼在手外

手眼标定的核心是求解机器人末端执行器（或基座）与相机坐标系之间的空间变换关系。根据相机安装位置的不同，问题被划分为两种经典构型：眼在手上（Eye-in-Hand）和眼在手外（Eye-to-Hand）。本章从数学上严格推导这两种构型的坐标系变换链，并引出经典的 AX = XB 与 AX = YB 矩阵方程。

4.1 眼在手上（Eye-in-Hand）构型

相机固定在机器人末端执行器（法兰盘）上，随机械臂一起运动。标定目标是求解相机坐标系 {C} 相对于末端坐标系 {E} 的变换矩阵 X。

4.1.1 坐标系定义与变换链

在眼在手上构型中，标定板固定不动。对于机械臂的两个不同位姿 i 和 j，存在以下闭环变换关系：

B_T_E(i) · E_T_C · C_T_O(i) = B_T_E(j) · E_T_C · C_T_O(j)

其中：

• B_T_E(i)：机器人正运动学给出的末端位姿（已知）
• C_T_O(i)：相机外参，即标定板在相机坐标系下的位姿（通过PnP求解，已知）
• E_T_C = X：待求的手眼变换矩阵

4.1.2 推导 AX = XB

将上式整理，令：

• A = inv(B_T_E(j)) · B_T_E(i) —— 机器人末端从位姿 i 到位姿 j 的相对运动
• B = C_T_O(j) · inv(C_T_O(i)) —— 相机观察到的标定板从位姿 i 到位姿 j 的相对运动

代入闭环方程得到：

A · X = X · B

这就是经典的 AX = XB 问题。其中 A 和 B 均为已知的 4×4 齐次变换矩阵，X 为待求的相机-末端变换矩阵。

4.2 眼在手外（Eye-to-Hand）构型

相机固定安装在机器人工作空间之外（如支架上），不随机械臂运动。标定目标是求解相机坐标系 {C} 相对于机器人基座坐标系 {B} 的变换矩阵 Y。

4.2.1 坐标系定义与变换链

在眼在手外构型中，标定板固定在机器人末端，随机械臂运动。对于两个不同位姿 i 和 j：

C_T_O(i) · inv(B_T_E(i)) = C_T_O(j) · inv(B_T_E(j))

整理后得到：

C_T_O(j) · inv(C_T_O(i)) = inv(B_T_E(j)) · B_T_E(i)

4.2.2 推导 AX = YB

令：

• A = C_T_O(j) · inv(C_T_O(i)) —— 相机观察到的标定板相对运动
• B = B_T_E(j) · inv(B_T_E(i)) —— 机器人末端相对运动
• X = C_T_B —— 相机到基座的变换（待求）
• Y = E_T_O —— 末端到标定板的变换（待求）

代入闭环方程得到：

A · X = Y · B

这就是 AX = YB 问题。与 AX = XB 不同，这里有两个未知矩阵 X 和 Y，需要至少两组独立运动才能求解。

4.3 两种构型对比总结

4.4 求解思路概述

无论是 AX = XB 还是 AX = YB，求解通常分为两步：

1. 旋转部分求解：利用旋转矩阵的轴角表示或四元数，将方程转化为线性形式或最小二乘问题。
2. 平移部分求解：在旋转已知后，平移向量可通过线性方程组直接解出。

OpenCV 提供了 calibrateHandEye() 函数，支持多种经典算法（Tsai-Lenz、Park、Horaud 等），直接求解 AX = XB 问题。Halcon 则通过 hand_eye_calibration 算子族，同时支持两种构型，并内置了鲁棒性优化策略。