2. 坐标系基础：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系定义与转换关系，刚体变换与齐次矩阵
在机器视觉与手眼标定中，坐标系是描述空间物体位置与姿态的数学基础。理解四个核心坐标系及其转换关系，是掌握标定原理的前提。本节将系统定义各坐标系，推导转换公式，并引入刚体变换与齐次矩阵这一核心数学工具。
2.1 四大坐标系定义
| 坐标系 | 符号 | 维度 | 单位 | 描述 |
|---|---|---|---|---|
| 世界坐标系 | Ow-XwYwZw | 3D | mm / m | 固定在真实空间中的参考系，描述物体与相机的全局位置 |
| 相机坐标系 | Oc-XcYcZc | 3D | mm / m | 以相机光心为原点，Zc 轴沿光轴方向，描述物体相对相机的空间位置 |
| 图像坐标系 | o-xy | 2D | mm | 位于成像平面，原点为光轴与成像面交点（主点），物理单位 |
| 像素坐标系 | o0-uv | 2D | pixel | 位于图像左上角，u 轴向右，v 轴向下，离散整数坐标 |
关键区分：图像坐标系与像素坐标系极易混淆。图像坐标系以物理长度（mm）为单位，原点在主点；像素坐标系以像素为单位，原点在图像左上角。两者通过像素尺寸和主点偏移进行转换。
2.2 坐标系转换关系
从世界坐标系到像素坐标系的完整转换链包含四个步骤，每一步对应一个变换矩阵。下图展示了这一层级关系：
2.3 刚体变换与齐次矩阵
刚体变换（Rigid Transformation）是手眼标定中最核心的数学操作，它描述一个物体在三维空间中只经过旋转和平移，不发生形变、缩放或扭曲。刚体变换由两部分组成：
- 旋转矩阵 R：3×3 正交矩阵，满足 RTR = I，det(R) = +1。描述坐标系之间的姿态关系。
- 平移向量 t：3×1 向量，描述坐标系原点之间的位移。
将旋转与平移组合为 齐次变换矩阵（Homogeneous Transformation Matrix），可以统一表达刚体变换：
世界坐标系到相机坐标系的刚体变换（外参矩阵）：
| Xc | | r11 r12 r13 tx | | Xw |
| Yc | = | r21 r22 r23 ty | * | Yw |
| Zc | | r31 r32 r33 tz | | Zw |
| 1 | | 0 0 0 1 | | 1 |
简写为：Pc = [R | t] * Pw
齐次坐标的优势：使用齐次坐标（增加第4维为1）后，旋转和平移可以合并为一个 4×4 矩阵，使得多次变换可以通过矩阵乘法串联，极大简化了手眼标定中的方程推导。
2.4 完整投影方程
从世界坐标点 Pw = (Xw, Yw, Zw)T 到像素坐标 (u, v) 的完整投影方程如下：
| u | | fx 0 u0 0 | | R t | | Xw |
| v | = | 0 fy v0 0 | * | 0 1 | * | Yw |
| 1 | | 0 0 1 0 | | | | Zw |
| 1 |
其中：
- fx, fy：x、y 方向的等效焦距（像素单位）
- u0, v0：主点坐标（像素单位）
- R, t：外参（旋转矩阵与平移向量）该方程可简写为：
p = K · [R | t] · Pw
其中 K 为相机内参矩阵，[R | t] 为外参矩阵。
2.5 坐标系转换在标定中的意义
| 标定环节 | 涉及的坐标系变换 | 数学表达 |
|---|---|---|
| 相机内参标定 | 图像坐标系 → 像素坐标系 | K 矩阵（fx, fy, u0, v0） |
| 手眼标定（眼在手外） | 世界坐标系 ↔ 相机坐标系 ↔ 机器人基坐标系 | 多个齐次矩阵串联： camHbase = camHobj · objHbase |
| 手眼标定（眼在手上） | 相机坐标系 ↔ 工具坐标系 ↔ 机器人基坐标系 | AX = XB 方程求解 |
| 3D 重建 | 像素坐标系 → 图像坐标系 → 相机坐标系 → 世界坐标系 | 逆投影 + 刚体逆变换 |
常见误区：初学者常将图像坐标系与像素坐标系混为一谈，导致内参矩阵中的 u0、v0 与 dx、dy 关系出错。务必记住：图像坐标 (x, y) 乘以像素尺寸的倒数再加上主点偏移，才得到像素坐标 (u, v)。
2.6 刚体变换的分解与合成
在手眼标定中，经常需要将齐次矩阵分解为旋转和平移，或将旋转矩阵分解为绕各轴的欧拉角。以下为常用分解方式：
// 从齐次矩阵提取旋转矩阵 R 和平移向量 t
R = H[0:3, 0:3]
t = H[0:3, 3]
// 从旋转矩阵提取欧拉角（ZYX 顺序）
θx = atan2(R[2][1], R[2][2])
θy = atan2(-R[2][0], sqrt(R[2][1]^2 + R[2][2]^2))
θz = atan2(R[1][0], R[0][0])合成齐次矩阵时，将旋转矩阵与平移向量组合：
H = | R t |
| 0 1 |逆变换的齐次矩阵为：
H_inv = | R^T -R^T * t |
| 0 1 |
OpenCV 与 Halcon 的差异：OpenCV 使用 Rodrigues 向量表示旋转（3 参数），而 Halcon 使用齐次矩阵或欧拉角。在跨平台标定中，务必注意旋转表示的转换。
2.7 坐标系变换的 SVG 结构图
下图展示了手眼标定中常见的坐标系变换关系，以“眼在手上”配置为例：
上图中，baseHtool 由机器人控制器提供（正运动学），camHobj 通过相机标定获得，baseHobj 已知（标定板固定在工作台）。求解 toolHcam 即为手眼标定的核心任务。
2.8 本节要点总结
- 四大坐标系：世界（3D 全局）、相机（3D 光心）、图像（2D 物理）、像素（2D 离散），构成完整的成像几何链。
- 刚体变换：仅包含旋转和平移，用齐次矩阵 [R | t] 统一表达，是手眼标定的数学基础。
- 齐次矩阵：4×4 矩阵，可串联多次变换，简化标定方程推导。
- 完整投影方程：p = K · [R | t] · Pw，内参 K 描述相机内部投影，外参 [R | t] 描述相机在世界中的位姿。
- 标定本质：通过已知的坐标系变换关系，求解未知的变换矩阵（如 toolHcam）。