📚 课程目录第4章手眼标定问题建模

4、手眼标定问题建模：Eye-in-Hand vs Eye-to-Hand 两种构型、AX=XB 与 AX=ZB 数学方程推导

好，我们正式进入手眼标定的核心环节——问题建模。

说白了，标定就是解一个方程。但方程长什么样，取决于你的机器人怎么「看」世界。我见过不少新手，一上来就套公式，结果标定出来误差大得离谱。为什么？因为构型没搞清楚，方程选错了。

这一节，我们就来彻底理清两种构型，以及它们对应的数学方程。

先看名字。Eye 是相机，Hand 是机器人末端（法兰盘）。

这两种构型，在实际项目里都很常见。我个人习惯，做精密装配时偏爱 Eye-in-Hand，因为相机离工件近，视野清晰。但做大范围抓取时，Eye-to-Hand 更省事，不用拖着相机线缆来回甩。

核心区别一句话：

Eye-in-Hand 标定的是 相机相对于末端 的位姿。

Eye-to-Hand 标定的是 相机相对于机器人基座 的位姿。

你想想看，这两种构型，标定的目标完全不同，方程自然也不一样。

先讲 Eye-in-Hand。这是最常见的构型，也是很多教科书里第一个讲的。

我们来看一下坐标系关系：

机器人移动末端，相机跟着动。每次移动，我们都能从机器人控制器读到末端位姿 T_base→end，从相机拍到标定板算出相机位姿 T_cam→obj。

这里有一个关键点：标定板是固定不动的。所以，Obj 相对于 Base 的位姿是常量。

好，我们写一个闭环关系：

T_base→obj = T_base→end × T_end→cam × T_cam→obj

其中 T_end→cam 就是我们要求的 X。

现在，让机器人做两次不同的运动，得到两组位姿：

运动1: T_base→obj = A1 × X × B1
运动2: T_base→obj = A2 × X × B2

因为 T_base→obj 不变，所以：

A1 × X × B1 = A2 × X × B2

整理一下：

(A2⁻¹ × A1) × X = X × (B2 × B1⁻¹)

令 A = A2⁻¹ × A1，B = B2 × B1⁻¹，就得到了经典的：

AX = XB

这就是 Eye-in-Hand 的核心方程。

我的经验： 解 AX=XB 时，运动幅度要大一点。平移和旋转都要有变化，否则方程会退化。我曾经因为运动太小，解出来的 X 精度很差，折腾了两天才发现是数据采集的问题。

再来看 Eye-to-Hand。这个构型，相机固定，机器人带着标定板动。

坐标系关系：

注意，这里标定板是装在机器人末端上的，跟着手臂一起动。

我们关心的未知量变了：这次要求的是 相机相对于机器人基座的位姿，记作 Z。

同样，写闭环关系：

T_cam→obj = Z⁻¹ × T_base→end × T_end→obj

其中 T_end→obj 是标定板相对于末端的位姿，是常量，记作 X。

做两次运动：

运动1: B1 = Z⁻¹ × A1 × X
运动2: B2 = Z⁻¹ × A2 × X

消去 X，得到：

B1 × B2⁻¹ = Z⁻¹ × (A1 × A2⁻¹) × Z

令 A = A1 × A2⁻¹，B = B1 × B2⁻¹，整理后得到：

AX = ZB

这就是 Eye-to-Hand 的核心方程。

避坑指南： 我曾经在 Eye-to-Hand 标定时，把标定板装歪了，导致 T_end→obj 不是常量。结果解出来的 Z 完全不对。后来我加了一个校验步骤：让机器人做几个不同姿态，检查标定板在相机视野里的重投影误差。如果误差波动大，说明安装有问题。

下面这张图，把两种构型的坐标系关系和方程推导路径画清楚了。

这一节，我们做了两件事：