3. 相机模型与成像原理

做手眼标定，绕不开相机模型。说白了，相机就是把三维世界投影到二维图像上。这个投影过程怎么描述？就是针孔相机模型。我刚开始接触视觉时，觉得这东西太简单了，不就是小孔成像嘛。但真正做标定才发现，里面的门道不少。

3.1 针孔相机模型

针孔模型是最基础的相机模型。它假设光线通过一个小孔，在成像平面上形成倒像。实际相机用透镜代替小孔，但数学上我们仍然用针孔模型来近似。

关键参数就两个：焦距 f 和 光心位置。焦距决定了成像的缩放比例，光心是光轴与成像平面的交点。

x = f * X / Z
y = f * Y / Z

嗯，这里要注意：针孔模型是理想情况。实际相机有畸变，像素也不是正方形。所以我们需要更完整的数学模型。

3.2 内参矩阵

内参矩阵描述了相机内部的几何参数。它把相机坐标系下的三维点映射到像素坐标系。

我习惯把内参矩阵写成这样：

K = [fx  0  cx
     0  fy  cy
     0   0   1]

其中：

• fx, fy：x 和 y 方向的焦距（像素单位）
• cx, cy：光心在像素坐标系中的位置

为什么 fx 和 fy 可能不同？因为像素不一定是正方形。我在项目中遇到过用工业相机，像素是矩形的，fx 和 fy 差了 5%。如果不校正，标定结果会偏。

3.3 畸变模型

实际相机有畸变。主要分两类：径向畸变和切向畸变。

3.3.1 径向畸变

径向畸变是光线通过透镜边缘时弯曲造成的。越靠近图像边缘，畸变越明显。常见的有两种：

• 桶形畸变：图像向外凸出，像桶一样
• 枕形畸变：图像向内凹陷，像枕头

数学模型用泰勒级数展开：

x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

r 是像素到光心的距离。k1, k2, k3 是径向畸变系数。一般用前两项就够了，鱼眼镜头才需要 k3。

3.3.2 切向畸变

切向畸变是透镜和成像平面不平行造成的。说白了，就是镜头装歪了。

数学模型：

x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_corrected = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

p1, p2 是切向畸变系数。这个畸变一般比较小，但也不能忽略。

你想想看，如果镜头安装有 0.5 度的倾斜，在图像边缘可能产生几个像素的误差。对于高精度手眼标定，这误差就大了。

3.4 张正友标定法简介

张正友标定法是目前最流行的相机标定方法。它只需要拍摄多张棋盘格图像，就能标定出内参和畸变参数。

核心思路：

1. 拍摄不同角度的棋盘格图像（至少 3 张，建议 10-20 张）
2. 提取棋盘格角点坐标
3. 利用单应性矩阵求解内参初值
4. 用最大似然估计优化所有参数

我在项目中用过很多次张正友法。有个经验：棋盘格要贴平，不能有褶皱。另外，拍摄角度要覆盖整个视场，别只拍中间区域。

3.5 本章知识结构

下面这张图总结了相机模型的核心概念和关系：

3.6 参数对比表

为了方便查阅，我把相机模型的关键参数整理成表：