2. 相机成像模型：从世界到像素的数学之旅
做双目视觉，第一件事不是调算法，而是搞懂相机是怎么「看」世界的。说白了，相机成像模型就是一套数学规则，告诉你三维空间里的一个点，最终落在图像传感器的哪个像素上。我刚开始接触这个领域时，总觉得这些坐标系绕来绕去很烦人。但后来发现，不理解这个，标定和校正根本无从下手。
这一节，我们就把针孔相机模型、四个坐标系、内外参这些东西彻底讲清楚。
2.1 针孔相机模型：最朴素的成像原理
针孔相机模型，是所有相机模型的鼻祖。它假设光线通过一个小孔，在后面的成像平面上形成倒立的像。你想想看，这其实跟初中物理课上做的实验一模一样。
数学上，这个模型可以用一个简单的相似三角形关系来描述：
X_image = f * (X_world / Z_world)
Y_image = f * (Y_world / Z_world)其中 f 是焦距，也就是小孔到成像平面的距离。实际相机虽然用了透镜，但绝大多数情况下，针孔模型已经足够精确。我在项目中遇到过用鱼眼镜头的情况，那才需要更复杂的模型。
2.2 四个坐标系：世界、相机、图像、像素
一个三维点要变成像素坐标，需要经过四次坐标变换。我习惯把这四个坐标系串成一条流水线：
- 世界坐标系 (Xw, Yw, Zw) — 你定义的三维空间，单位是米或毫米
- 相机坐标系 (Xc, Yc, Zc) — 以相机光心为原点，Z轴指向镜头前方
- 图像坐标系 (x, y) — 在成像平面上，单位是毫米，原点在光轴与平面交点
- 像素坐标系 (u, v) — 最终在图像上的行列号，单位是像素
为什么要搞这么多坐标系？说白了，每个坐标系都有自己的「主场优势」。世界坐标系方便你描述物体位置，相机坐标系方便你描述投影关系，像素坐标系方便你读写图像数据。
下面这张图，把整个流程画清楚了：
2.3 世界坐标系与相机坐标系：外参的舞台
世界坐标系到相机坐标系的变换，靠的是外参。外参包括一个旋转矩阵 R 和一个平移向量 t。数学表达式很简单：
Xc = R * Xw + t这里 R 是 3×3 的旋转矩阵，t 是 3×1 的平移向量。说白了，就是把世界坐标系下的点，先旋转再平移，挪到相机坐标系下。
我记得有一次做双目标定，左右相机的外参死活对不上。后来发现是我把旋转矩阵的欧拉角顺序搞反了。嗯，这里要注意：OpenCV 用的是 R = Rz * Ry * Rx 的顺序，别搞混。
2.4 图像坐标系与像素坐标系：内参的舞台
相机坐标系下的点，先通过透视投影变成图像坐标（单位毫米），再通过内参变成像素坐标（单位像素）。
透视投影公式：
x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc然后从图像坐标到像素坐标：
u = fx * x + cx
v = fy * y + cy这里 fx 和 fy 是焦距在像素单位下的值，cx 和 cy 是光心在像素坐标系中的位置。我习惯把内参矩阵写成这样：
K = [[fx, 0, cx],
[ 0, fy, cy],
[ 0, 0, 1]]这个 K 矩阵，就是相机的内参矩阵。它包含了相机的所有内部参数。你想想看，只要知道了 K，就能把相机坐标系下的点映射到像素坐标。
2.5 相机内参与外参：一张表说清楚
我把内外参的核心区别整理成了一张表，方便你对照：
| 参数类型 | 包含内容 | 物理意义 | 维度 | 是否随相机移动变化 |
|---|---|---|---|---|
| 内参 | fx, fy, cx, cy, 畸变系数 | 描述相机内部光学特性 | 固定值（4+5个参数） | 否 |
| 外参 | 旋转矩阵 R, 平移向量 t | 描述相机在世界坐标系中的位姿 | 6个自由度 | 是 |
2.6 畸变模型：现实世界不完美
针孔模型是理想情况。实际镜头有畸变，主要是径向畸变和切向畸变。径向畸变让直线变弯，切向畸变让图像倾斜。
OpenCV 里常用的畸变模型有 5 个参数：k1, k2, p1, p2, k3。其中 k1, k2, k3 是径向畸变系数，p1, p2 是切向畸变系数。
矫正公式：
x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y其中 r^2 = x^2 + y^2。看着复杂，但 OpenCV 的 cv2.undistort() 函数一行代码就搞定了。我在项目中遇到过畸变特别严重的镜头，k1 值到了 -0.4，矫正后边缘还是有点模糊。这时候就得考虑用更高级的模型了。
好了，这一节的内容就到这里。相机成像模型是双目视觉的基石，搞懂了这些坐标系和参数，后面的标定和校正才能顺利进行。记住：内参是相机的「身份证」，外参是相机的「GPS」，两者缺一不可。