3. 畸变模型：径向畸变与切向畸变
聊完内参外参，咱们得面对一个现实——镜头不是完美的。你想想看，再贵的工业镜头，拍出来的照片边缘多少都会有点变形。这就是畸变。
我刚开始做标定时，总觉得畸变是小事。直到有一次做高精度测量，图像中心区域精度0.1mm，到了边缘直接差了2mm。嗯，从那以后我再也不敢忽略畸变了。
3.1 畸变从哪来？
畸变说白了就是光线通过镜头时，实际路径和理想路径之间的偏差。主要分两类：
- 径向畸变：光线在透镜边缘弯曲得更厉害，导致图像点沿径向偏移
- 切向畸变：镜头和成像平面不平行，导致图像点沿切向偏移
我个人的经验是：径向畸变占畸变总量的90%以上，切向畸变通常很小，但在高精度场景下不能忽略。
3.2 径向畸变——大头娃娃与枕形失真
径向畸变有两种典型表现：
| 类型 | 现象 | 常见场景 |
|---|---|---|
| 桶形畸变 | 图像中心向外膨胀，边缘向内收缩 | 广角镜头、手机摄像头 |
| 枕形畸变 | 图像中心向内收缩，边缘向外膨胀 | 长焦镜头、变焦镜头长焦端 |
数学上，径向畸变用泰勒级数建模。设归一化坐标 (x, y)，畸变后的坐标为：
x_distorted = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_distorted = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)其中 r² = x² + y²，k1、k2、k3 是径向畸变系数。
我的经验：大多数情况下只用 k1、k2 就够了。k3 通常用于鱼眼镜头或畸变特别大的镜头。我在项目中试过，普通工业镜头用 k1、k2 校正后，残差已经小于 0.3 像素。
3.3 切向畸变——镜头装歪了
切向畸变，说白了就是镜头和传感器不平行。可能是装配公差，也可能是镜头卡口磨损。
数学模型是这样的：
x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y_distorted = y + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]其中 p1、p2 是切向畸变系数。
注意：切向畸变系数通常很小（10⁻³ 量级），但如果你的标定板图像出现明显的梯形变形，那就要检查镜头安装是否牢固了。我曾经遇到过一个案例，镜头卡口松动导致切向畸变系数比正常值大了 10 倍。
3.4 Brown-Conrady 畸变模型——工业界的标准
把径向和切向畸变合在一起，就是 Brown-Conrady 模型。这是工业视觉领域最常用的畸变模型，OpenCV 和 Halcon 都在用。
完整公式：
x_distorted = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y_distorted = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]一共 5 个畸变参数：(k1, k2, k3, p1, p2)。
核心要点：Brown-Conrady 模型假设畸变是连续的、平滑的。如果你的镜头畸变特别大（比如鱼眼），这个模型就不够用了，得用更复杂的模型。
3.5 畸变对测量的影响——别小看它
我直接给你看一组数据。这是我用 12mm 工业镜头做的实测：
| 图像位置 | 径向畸变量（像素） | 对应实际偏移（mm） |
|---|---|---|
| 中心（0, 0） | 0.0 | 0.00 |
| 1/4 视场 | 2.3 | 0.12 |
| 1/2 视场 | 8.7 | 0.45 |
| 3/4 视场 | 19.5 | 1.01 |
| 边缘 | 35.2 | 1.83 |
看到了吗？边缘的畸变误差接近 2mm。如果你的测量精度要求是 ±0.1mm，不校正畸变根本没法用。
畸变对测量的具体影响：
- 尺寸测量：边缘位置的物体尺寸会被放大或缩小
- 位置定位：物体在图像不同位置，定位偏差不同
- 形状检测：直线会变成曲线，圆会变成椭圆
- 多相机拼接：畸变不一致会导致拼接错位
避坑指南：我曾经做过一个项目，客户说他们的测量结果总是偏大。查了半天，发现是畸变校正参数用的是出厂默认值，而镜头经过运输震动后，畸变已经变了。从那以后，我每次项目开始前都会重新标定畸变参数，绝不偷懒。
3.6 畸变校正流程
畸变校正分两步走：
- 标定阶段：用标定板图像计算出畸变系数 (k1, k2, k3, p1, p2)
- 校正阶段：用这些系数对每帧图像做重映射
OpenCV 里校正畸变的代码很简单：
import cv2
import numpy as np
# 假设你已经有了相机内参矩阵 K 和畸变系数 dist
# K = [[fx, 0, cx], [0, fy, cy], [0, 0, 1]]
# dist = [k1, k2, p1, p2, k3]
# 生成校正映射
h, w = img.shape[:2]
new_camera_matrix, roi = cv2.getOptimalNewCameraMatrix(K, dist, (w, h), 1, (w, h))
mapx, mapy = cv2.initUndistortRectifyMap(K, dist, None, new_camera_matrix, (w, h), cv2.CV_32FC1)
# 应用校正
undistorted_img = cv2.remap(img, mapx, mapy, cv2.INTER_LINEAR)
性能优化：如果是在实时系统中做畸变校正，建议把 mapx、mapy 提前算好存起来，运行时只做 remap。我做过测试，这样能节省 60% 以上的计算时间。
3.7 本章知识结构
下面这张图帮你理清畸变模型的整体脉络：
3.8 小结
畸变模型这块，记住几个关键点：
- 径向畸变是主角，切向畸变是配角
- Brown-Conrady 模型是工业标准，5 个参数搞定
- 畸变校正能显著提升测量精度，尤其是边缘区域
- 实时系统中提前算好映射表，别每帧都算
我个人习惯是：拿到一个新镜头，先拍一张棋盘格，看看边缘的直线弯成什么样。心里有个数，后面标定时就知道该重点关注什么了。