第二章 成像模型：针孔相机模型详解、世界坐标系到像素坐标系的四大变换

聊到单目视觉标定，绕不开的第一个核心概念就是——针孔相机模型。

很多人觉得这东西太理论，上来就想直接调OpenCV的calibrateCamera()。我刚开始做视觉的时候也这么干过，结果标出来的参数怎么都不对，后来才发现是连最基本的成像模型都没吃透。说白了，你连相机怎么把三维世界变成二维图像的都不清楚，标定出来的内参外参你敢用吗？

2.1 针孔相机模型——最朴素的成像原理

针孔相机模型，名字很形象。想象一个密闭的盒子，前面戳一个小孔，光线穿过小孔在后面的感光面上成像。这就是最原始的相机。

数学上，我们用光心（小孔的位置）、成像平面（感光面）、焦距（光心到成像平面的距离）来描述这个过程。

这里有个关键点：针孔成像是倒立的。为了数学上方便，我们通常把成像平面“虚拟”地翻到光心前面，这样图像就是正立的，计算也简单很多。这个虚拟平面叫归一化平面。

2.2 四大坐标系——从世界到像素的“接力赛”

一个三维点怎么变成图像上的像素？中间要经过四次坐标变换。我把它叫做“接力赛”：

1. 世界坐标系 → 相机坐标系（刚体变换）
2. 相机坐标系 → 图像物理坐标系（透视投影）
3. 图像物理坐标系 → 图像像素坐标系（离散化）

等等，题目说四大变换，这里只有三个？别急，第四个其实是畸变校正，它穿插在第二步和第三步之间。我们先把前三步讲透。

2.2.1 世界坐标系 → 相机坐标系（外参登场）

世界坐标系是客观的，相机坐标系是以相机光心为原点的。两者之间差了一个旋转和一个平移。

数学表达：

P_c = R * P_w + t

其中：

• P_w：世界坐标系下的点 (X, Y, Z)
• R：3x3 旋转矩阵
• t：3x1 平移向量
• P_c：相机坐标系下的点 (X_c, Y_c, Z_c)

2.2.2 相机坐标系 → 图像物理坐标系（透视投影）

这一步是真正的“成像”。根据相似三角形原理：

x = f * X_c / Z_c
y = f * Y_c / Z_c

这里 (x, y) 是图像物理坐标，单位是毫米。f 是焦距。

你想想看，这里出现了除法，所以这个变换是非线性的。这也是为什么相机标定不能简单地用线性代数一步求解的原因。

2.2.3 图像物理坐标系 → 图像像素坐标系（离散化）

物理坐标是连续的，像素坐标是离散的。我们需要把毫米转换成像素：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

其中：

• dx, dy：每个像素的物理尺寸（毫米/像素）
• (u0, v0)：主点坐标（光心在像素坐标系下的位置）

把上面三步合并，写成齐次坐标形式，就是大名鼎鼎的相机内参矩阵 K：

K = [fx  0  u0
     0  fy  v0
     0   0   1]

其中 fx = f/dx，fy = f/dy。

2.3 完整的投影方程

把外参和内参合在一起，一个三维点 P_w 到像素坐标 p 的完整变换是：

p = K * [R | t] * P_w

用齐次坐标展开：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, Z, 1]^T

这里的 s 是尺度因子，等于 Z_c。为什么会有它？因为从3D到2D丢失了深度信息，同一个像素点对应的是空间中的一条射线。

2.4 知识结构总览

下面这张图，是我做标定项目时一定会贴在工位上的。它把整个成像模型串起来了：

2.5 畸变——理想模型的“现实修正”

针孔模型是理想情况。实际镜头有加工误差，光线不是完美直线。这就引出了畸变。

畸变主要分两类：

畸变类型	产生原因	数学模型	典型表现
径向畸变	镜头曲率不完美	δr = k1*r^3 + k2*r^5 + k3*r^7	桶形（广角）、枕形（长焦）
切向畸变	镜头与感光面不平行	δx = 2*p1*x*y + p2*(r^2+2*x^2)	图像倾斜、梯形失真

2.6 标定到底在标什么？

现在可以回答这个问题了。相机标定，就是求解：

• 内参：fx, fy, u0, v0, k1, k2, p1, p2（可能还有 k3）
• 外参：每张标定图片对应的 R 和 t

你想想看，一个内参加若干外参，少说几十个未知数。怎么解？靠的是多张不同角度的标定板图片，建立超定方程组，然后用最小二乘法优化。