4. 手眼标定问题建模

手眼标定的核心是求解机器人末端执行器（或基座）与相机坐标系之间的空间变换关系。根据相机安装位置的不同，标定问题分为两种经典构型：眼在手外（Eye-to-Hand）和眼在手上（Eye-in-Hand）。两种构型的数学模型均基于齐次变换矩阵的闭环约束，但求解的目标矩阵和坐标链不同。

4.1 眼在手外（Eye-to-Hand）数学模型

在 Eye-to-Hand 构型中，相机固定安装在机器人工作空间之外，不随机器人运动。标定板（或特征物体）安装在机器人末端法兰盘上。相机观察标定板，同时记录机器人关节角度，从而建立约束方程。

4.1.1 坐标链与符号定义

定义以下齐次变换矩阵（4×4）：

• B：机器人基座坐标系（Base）
• E：机器人末端法兰盘坐标系（End-effector）
• C：相机坐标系（Camera）
• P：标定板坐标系（Pattern/Calibration Object）

在 Eye-to-Hand 中，待求解的未知矩阵为 X = ^BT_C（相机到机器人基座的变换）。已知量包括：

• A = ^BT_E：机器人正运动学给出的末端到基座的变换（随关节角变化）。
• B = ^CT_P：相机观测标定板得到的标定板到相机的变换（通过PnP或3D配准获得）。

4.1.2 闭环约束方程推导

对于机器人两个不同的位姿 i 和 j，标定板固定在末端上，因此标定板在机器人基座下的坐标是固定的（但未知）。通过坐标链传递，可以得到：

# 位姿 i 下的坐标链
<sup>B</sup>T<sub>P</sub> = <sup>B</sup>T<sub>E_i</sub> · <sup>E_i</sup>T<sub>P</sub>

# 位姿 j 下的坐标链
<sup>B</sup>T<sub>P</sub> = <sup>B</sup>T<sub>E_j</sub> · <sup>E_j</sup>T<sub>P</sub>

# 由于标定板固定在末端，<sup>E</sup>T<sub>P</sub> 是常数矩阵（记为 M）
# 同时，相机观测给出 <sup>C</sup>T<sub>P</sub>，而 <sup>B</sup>T<sub>C</sub> = X 是未知常数
# 因此：<sup>B</sup>T<sub>P</sub> = X · <sup>C</sup>T<sub>P</sub>

# 联立两个位姿，消去常数 M 和 <sup>B</sup>T<sub>P</sub>，得到：
A_i · M = X · B_i
A_j · M = X · B_j

# 两式相减消去 M，得到经典 AX = XB 形式：
(A_j⁻¹ · A_i) · X = X · (B_j⁻¹ · B_i)

令 A = A_j⁻¹ · A_i，B = B_j⁻¹ · B_i，则方程简化为：

4.2 眼在手上（Eye-in-Hand）数学模型

在 Eye-in-Hand 构型中，相机固定在机器人末端法兰盘上，随机器人一起运动。标定板固定放置在机器人工作空间中的某个位置。相机随末端运动，在不同位姿下拍摄同一块固定标定板。

4.2.1 坐标链与符号定义

同样使用上述坐标系定义，但待求解的未知矩阵变为 X = ^ET_C（相机到末端法兰盘的变换）。已知量包括：

• A = ^BT_E：机器人正运动学给出的末端到基座的变换。
• B = ^CT_P：相机观测固定标定板得到的标定板到相机的变换。

4.2.2 闭环约束方程推导

对于两个不同位姿 i 和 j，标定板固定在机器人基座坐标系下（位置固定）。通过坐标链：

# 位姿 i 下，标定板在基座下的坐标
<sup>B</sup>T<sub>P</sub> = <sup>B</sup>T<sub>E_i</sub> · <sup>E_i</sup>T<sub>C</sub> · <sup>C_i</sup>T<sub>P</sub>

# 位姿 j 下，标定板在基座下的坐标
<sup>B</sup>T<sub>P</sub> = <sup>B</sup>T<sub>E_j</sub> · <sup>E_j</sup>T<sub>C</sub> · <sup>C_j</sup>T<sub>P</sub>

# 由于标定板固定，<sup>B</sup>T<sub>P</sub> 是常数；<sup>E</sup>T<sub>C</sub> = X 是未知常数
# 两式相等，消去 <sup>B</sup>T<sub>P</sub>，得到：
A_i · X · B_i = A_j · X · B_j

# 整理成 AX = XB 形式：
(A_j⁻¹ · A_i) · X = X · (B_j · B_i⁻¹)

令 A = A_j⁻¹ · A_i，B = B_j · B_i⁻¹，则方程同样简化为：

4.3 两种构型的对比分析

4.4 两种构型的坐标链示意图

下图展示了两种构型的坐标链传递关系，帮助理解方程中各个矩阵的物理含义。

X = | R_x   t_x |
    | 0^T   1  |

A = | R_a   t_a |
    | 0^T   1  |

B = | R_b   t_b |
    | 0^T   1  |

旋转部分：R_a · R_x = R_x · R_b
平移部分：R_a · t_x + t_a = R_x · t_b + t_x