2. 坐标系基础

在3D点云配准辅助手眼标定中，坐标系是描述空间关系的数学基础。任何标定过程本质上都是在求解不同坐标系之间的刚性变换矩阵（旋转+平移）。本章将系统定义四种核心坐标系，并阐述它们之间的变换关系。

2.1 四种核心坐标系定义

2.2 坐标系变换的数学表示

任意两个坐标系之间的变换可以用一个4×4齐次变换矩阵 T 表示：

T = | R   t |
    | 0   1 |

其中：
R ∈ SO(3) —— 3×3 旋转矩阵（正交且行列式为+1）
t ∈ ℝ³   —— 3×1 平移向量
0        —— 1×3 零向量
1        —— 标量1

变换矩阵的逆矩阵用于反向变换：

T⁻¹ = | Rᵀ   -Rᵀ·t |
      | 0      1    |

2.3 坐标系变换链

在实际标定场景中，四个坐标系通过变换链连接。以下SVG图展示了典型的“眼在手外”配置下的坐标系层级关系：

2.4 变换方程与标定原理

根据上图所示的变换链，可以建立闭环约束方程。对于“眼在手外”配置，标定物固定在世界坐标系中，机器人移动工具末端触碰标定物上的已知点，同时相机拍摄标定物点云。闭环方程为：

T_WB · T_BT · T_TC = T_Wobj · T_objC

其中：
T_WB  —— 世界到机器人基坐标系（已知，通过测量或标定）
T_BT  —— 机器人基到工具坐标系（已知，从机器人控制器读取关节角计算）
T_TC  —— 工具到相机坐标系（未知，待求的手眼矩阵）
T_Wobj—— 世界到标定物坐标系（已知，标定物位置固定）
T_objC—— 标定物到相机坐标系（已知，通过点云配准获得）

整理得：
T_BT · T_TC = T_WB⁻¹ · T_Wobj · T_objC

令 A = T_BT, X = T_TC, B = T_WB⁻¹ · T_Wobj · T_objC
则经典手眼标定方程：A · X = B

2.5 坐标系变换的工程注意事项

• 右手系一致性：所有坐标系必须统一为右手系，否则旋转矩阵的行列式会出现-1，导致变换失效。
• 单位统一：平移向量的单位必须一致（通常使用毫米mm），否则点云配准结果会直接错误。
• 旋转矩阵正交性：从传感器或运动学计算得到的旋转矩阵可能因噪声失去正交性，使用前需进行正交化处理（如SVD分解后强制正交）。
• 变换链完整性：在构建闭环方程时，确保每个变换的起点和终点正确衔接，避免出现“跳坐标系”的错误。

2.6 四种坐标系在点云配准中的角色对比