3. 刚体变换与齐次矩阵

在3D点云配准与手眼标定中，核心数学工具是刚体变换。刚体变换描述了一个物体在三维空间中只发生旋转和平移，而不发生形变（即保持点间距离和手性）。本章将系统推导旋转矩阵、平移向量、齐次坐标以及4x4变换矩阵的数学形式与关键性质。

3.1 旋转矩阵：三维旋转的代数表示

旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，满足 RTR = I 且 det(R) = +1。它描述了坐标系或点绕原点的旋转。

绕三个坐标轴的基本旋转矩阵（右手法则）：

3.2 平移向量：三维空间中的位移

平移向量 t = [tx, ty, tz]T 表示坐标系原点之间的位移。在刚体变换中，平移与旋转是解耦的：先旋转，再平移。

点 p 经过旋转 R 和平移 t 后的坐标 p' 为：

p' = R * p + t

这种形式在连续变换时不够紧凑，因为每次变换都需要分别处理旋转和平移，无法通过矩阵乘法串联。

3.3 齐次坐标：统一旋转与平移

齐次坐标通过在三维向量末尾添加一个额外的维度（通常为1），将三维点表示为四维向量：

p_h = [x, y, z, 1]<sup>T</sup>

引入齐次坐标的核心优势：

• 统一变换形式： 旋转和平移可以合并为一个4x4矩阵，通过一次矩阵乘法完成变换。
• 支持变换串联： 多个刚体变换可以通过矩阵乘法合并为一个等效变换。
• 表示无穷远点： 当齐次坐标的最后一个分量为0时，表示方向向量（不受平移影响）。

3.4 4x4变换矩阵的推导与性质

将旋转矩阵 R 和平移向量 t 组合成4x4齐次变换矩阵 T：

T = [[R, t],
     [0, 1]]

其中：
R: 3x3 旋转矩阵
t: 3x1 平移向量
0: 1x3 零向量
1: 标量 1

展开形式：

T = [[r11, r12, r13, tx],
     [r21, r22, r23, ty],
     [r31, r32, r33, tz],
     [0,   0,   0,   1]]

点 p 的齐次坐标 p_h 经过变换 T 后：

p'_h = T * p_h

变换矩阵的逆矩阵：

T<sup>-1</sup> = [[R<sup>T</sup>, -R<sup>T</sup> * t],
          [0,     1]]

这个性质非常实用：已知从坐标系A到B的变换 TAB，则从B到A的变换 TBA = TAB-1，无需重新计算旋转和平移。

3.5 刚体变换的几何意义与性质总结

3.6 手眼标定中的刚体变换链

在手眼标定中，刚体变换构成一个闭环链。以“眼在手外”（Eye-to-Hand）为例：

• 机器人基座 → 机器人末端： 由机器人正运动学提供，记为 Tbase_to_ee
• 机器人末端 → 标定板： 未知的固定变换，记为 Tee_to_calib
• 标定板 → 相机： 由3D点云配准（如ICP）计算得到，记为 Tcalib_to_cam
• 相机 → 机器人基座： 待求的手眼变换，记为 Tcam_to_base

闭环约束：

T<sub>cam_to_base</sub> = T<sub>base_to_ee</sub> * T<sub>ee_to_calib</sub> * T<sub>calib_to_cam</sub>

通过多组位姿数据，可以构建形如 AX = XB 的方程求解手眼变换矩阵 X。