2. 相机成像几何模型

工业视觉系统的所有几何测量，最终都要回答一个问题：空间中某个物理点，究竟落在图像的哪个像素上？反过来，图像上的某个像素，又对应空间中哪条射线？要回答这两个问题，必须建立一套完整的成像几何模型。本节以最经典的针孔模型为基础，把内参矩阵、外参矩阵、齐次坐标变换串成一条从世界坐标系到像素坐标系的完整映射链，并说明每个环节的物理含义与工程作用。

一、针孔模型：把三维空间投影到二维像面

针孔模型（Pinhole Model）是工业相机成像的基准近似。它假设所有光线都通过一个理想的光心点，并在像平面上形成倒立的投影。设相机坐标系下一点为 Pc = (Xc, Yc, Zc)，焦距为 f，则根据相似三角形关系，该点在像平面上的物理坐标为：

x = f · Xc / Zc
y = f · Yc / Zc

这里 Zc 是点在相机坐标系下的深度。这个除法正是透视投影的本质：同样大小的物体，离相机越远，成像越小。工业镜头虽然存在畸变，但在标定与校正之后，仍以针孔模型作为主模型来描述理想投影关系。

二、内参矩阵：像素坐标与物理尺寸的桥梁

像平面上的物理坐标单位是毫米，而图像输出单位是像素，两者之间需要缩放和平移。设单个像素在 x、y 方向的物理尺寸为 dx、dy，主点（光轴与像平面交点）像素坐标为 (u0, v0)，则：

u = x / dx + u0 = fx · Xc / Zc + u0
v = y / dy + v0 = fy · Yc / Zc + v0

其中 fx = f / dx、fy = f / dy 称为等效焦距，单位是像素。写成矩阵形式即得到内参矩阵 K：

K = [ fx   s   u0 ]
    [  0  fy   v0 ]
    [  0   0    1 ]

参数 s 是倾斜因子，理想情况下为 0，用于描述像素轴不完全垂直的微小偏差。内参矩阵只与相机和镜头自身有关，与相机在空间中的摆放位置无关，因此标定一次即可长期复用（前提是焦距、对焦状态不变）。

三、外参矩阵：把世界坐标搬到相机坐标

世界坐标系是人为定义的、与工件或标定板固连的坐标系。相机坐标系以光心为原点、光轴为 Z 轴。两者之间通过刚体变换联系：先旋转，再平移。设旋转矩阵为 R（3×3，正交且行列式为 1），平移向量为 t（3×1），则：

Pc = R · Pw + t

外参矩阵由 R 和 t 共同构成，共 6 个自由度（3 个旋转、3 个平移）。它描述的是相机相对于世界坐标系的位置和姿态。在多相机系统中，每个相机都有各自的外参，这正是后续坐标统一的关键。

四、齐次坐标：把旋转和平移合并成一次乘法

旋转加平移是“先乘后加”，不便于连续变换的链式表达。引入齐次坐标后，可以把三维点写成四维向量 [X, Y, Z, 1]ᵀ，于是外参变换变为单个 4×4 矩阵乘法：

[ Pc ]   [ R  t ] [ Pw ]
[ 1  ] = [ 0  1 ] [ 1  ]

齐次坐标的另一个好处是：投影过程中的除法（除以 Zc）也可以纳入矩阵框架，使整条映射链统一为矩阵连乘。这正是下面完整映射链能够简洁表达的原因。

五、完整映射链：世界坐标 → 像素坐标

把上述环节串联起来，从世界坐标 Pw 到像素坐标 (u, v) 的完整映射为：

Zc · [u, v, 1]ᵀ = K · [R | t] · [Xw, Yw, Zw, 1]ᵀ

展开后即：

u = (fx · (R11·Xw + R12·Yw + R13·Zw + tx) / Zc) + u0
v = (fy · (R21·Xw + R22·Yw + R23·Zw + ty) / Zc) + v0
Zc = R31·Xw + R32·Yw + R33·Zw + tz

这条链的工程意义在于：内参 K 决定“像素怎么量”，外参 [R|t] 决定“相机在哪、朝哪”，两者相乘得到投影矩阵 P = K·[R|t]，共 11 个独立参数。标定的本质，就是通过已知世界坐标与对应像素坐标的若干组点，求解这 11 个参数。

六、映射链的可视化

下图把世界坐标系、外参变换、相机坐标系、透视投影、内参变换、像素坐标系依次串联，并标注了每个环节的输入输出与关键参数，帮助建立整条链路的空间直觉。

七、工程要点与常见误区

理解这条映射链后，有几个工程细节必须注意。第一，内参与外参的职责边界要分清：内参描述“相机自身”，外参描述“相机在哪”，标定时两者通常联合求解，但使用中内参可复用、外参随安装变化。第二，齐次坐标中的 Zc 是缩放因子，不能省略，否则无法从像素反推空间点。第三，单目相机从像素反投影只能得到一条射线，要确定空间三维点还需额外约束（如已知平面、双目或多传感器融合）。第四，实际镜头存在径向和切向畸变，完整模型应在透视投影前加入畸变校正，这部分将在后续畸变校正章节展开。

掌握这条从世界坐标到像素坐标的完整映射链，是后续相机标定、手眼标定、多相机坐标统一和三维重建的共同基础。任何复杂的工业视觉几何问题，最终都可以还原为这条链上某个环节的参数求解或误差分析。