3. 多轴平台运动学建模
在多轴运动平台工程中，运动学模型是坐标体系能否落地、标定能否收敛、轨迹能否被准确执行的核心基础。它回答三个基本问题：平台末端在空间中能到达哪些位置与姿态（自由度与工作空间）、给定关节量如何算出末端位姿（正运动学）、给定末端目标位姿如何反解关节量（逆运动学）。串联、并联与混联平台在这三个问题上的数学结构差异很大，建模流程与坐标体系定义方式也随之不同。
一、自由度分析：从约束出发，而不是从轴数出发
自由度（DOF）不等于电机数量。对刚体空间运动，Grübler–Kutzbach 判据给出通用形式：M = 6(n − 1 − g) + Σfᵢ，其中 n 为含机架的构件数，g 为运动副数，fᵢ 为第 i 个运动副的自由度数。对平面机构则把 6 换成 3。以常见的 3-RPS 并联平台为例：n = 8（机架、动平台、3 条支链各 2 个连杆），g = 9（3 个 R 副、3 个 P 副、3 个 S 副），Σfᵢ = 3×1 + 3×1 + 3×3 = 15，则 M = 6(8−1−9) + 15 = 3，即该平台具有 3 个自由度，通常表现为绕 X、Y 的转动与沿 Z 的移动。这个结论直接决定了后续坐标体系只能定义 3 个独立位姿分量，其余分量必须由约束方程锁定。
串联平台（如六轴机械臂、XY-Z 龙门）的自由度通常等于各关节自由度之和，无闭环约束，因此工作空间大、标定相对直观，但误差会沿链累积。并联平台（Stewart、Delta、3-RPS）由多条支链共同约束动平台，刚度高、误差平均化，但自由度往往少于支链自由度之和，且存在奇异位形。混联平台（如 3-PRS 串接一个两轴摆头）则把串联与并联串联起来，自由度分析需分段进行：先算并联模块的 M₁，再叠加串联模块的 M₂，最终自由度受两者耦合约束。
二、正运动学建模流程：从参数到位姿映射
正运动学的目标是建立关节量 q 到末端位姿 T 的映射。串联平台的标准做法是 DH（Denavit–Hartenberg）参数法：为每个连杆定义四个参数——连杆长度 aᵢ、连杆扭角 αᵢ、关节偏置 dᵢ、关节角 θᵢ，相邻坐标系变换为
Tᵢ = Rot_z(θᵢ)·Trans_z(dᵢ)·Trans_x(aᵢ)·Rot_x(αᵢ)
末端位姿：T = T₁·T₂·…·Tₙ以两轴 XY 平台为例，设 X 轴行程 0～300 mm，Y 轴行程 0～200 mm，两轴正交。取基坐标系原点在 X 轴左端、Y 轴与 X 轴交点处，X 轴沿导轨向右，Y 轴沿导轨向前，Z 轴由右手定则确定。则正解为 T = Trans_x(x)·Trans_y(y)，末端位置 (x, y, 0)，姿态为单位阵。这个简单例子说明：正运动学本质是坐标变换的串联，而坐标变换的参考系定义直接决定了 T 的物理含义。
并联平台的正运动学更复杂。以 3-RPS 为例，动平台位姿由三个驱动杆长度 l₁、l₂、l₃ 决定。每条支链从基座铰点 Bᵢ 经 R 副、P 副、S 副连接到动平台铰点 Pᵢ。正解需要联立三个约束方程：|Pᵢ − Bᵢ| = lᵢ，同时满足 R 副的转动约束。通常采用数值方法（牛顿–拉夫森）迭代求解动平台位姿。混联平台则先解并联模块得到中间位姿，再将其作为串联模块的输入，逐级传递。
三、逆运动学建模流程：从目标位姿到关节量
逆运动学是轨迹执行的关键。串联平台若满足 Pieper 条件（三相邻关节轴交于一点或相互平行），可获得解析解；否则用数值解。以两轴 XY 平台为例，逆解极其简单：x = X_target，y = Y_target，但需检查是否在行程范围内。六轴机械臂的逆解通常有 8 组解，需根据关节限位、避障和连续性选择最优解。
并联平台的逆解反而比正解简单。3-RPS 的逆解可直接由目标位姿算出三个铰点 Pᵢ 的位置，再计算 lᵢ = |Pᵢ − Bᵢ|，无需迭代。这种“正解难、逆解易”的特性与串联平台正好相反，是并联平台在实时控制中常被采用的重要原因。混联平台的逆解需分层：先由末端目标位姿反解串联模块，得到并联模块的目标位姿，再反解并联模块的驱动量。
四、运动学模型如何支撑坐标体系定义
坐标体系不是凭空定义的，它必须与运动学模型一致。基坐标系通常定义在平台机架上，其原点与轴向由正运动学在 q = 0 时的位姿确定。工件坐标系则通过标定获得：用探针或视觉测量若干基准点，结合正运动学模型反推工件坐标系相对基坐标系的变换矩阵。工具坐标系定义在末端法兰上，由末端位姿 T 与工具偏移量共同确定。
轨迹执行时，目标位姿在工件坐标系中给出，先经坐标变换转到基坐标系，再经逆运动学转为关节量，最后由正运动学验证实际末端位姿是否与目标一致。这个闭环中，运动学模型的精度直接决定坐标体系的可靠性。若模型参数（如连杆长度、铰点位置）存在误差，即使坐标体系定义正确，末端仍会偏离目标。因此，运动学建模与坐标体系定义必须同步进行，并在标定环节联合优化。