2. 坐标系基础与平台运动描述
多轴运动平台的一切控制指令，最终都要落到某个坐标系里才有意义。同一句“移动到 (100, 50, 20)”，在世界坐标系、机架坐标系、工具坐标系或工件坐标系下，指向的物理位置可能完全不同。因此，理解坐标系的层级关系与空间映射，是标定与轨迹执行的第一块基石。
一、四类坐标系及其层级关系
世界坐标系（World）是全局参考，通常固定在地面或车间基准上，用于统一描述多台设备、视觉相机与工件的相对位置。它不随平台运动而改变，是“绝对参照”。
机架坐标系（Base/Frame）固连在平台底座上，原点一般取第一轴回转中心与安装面的交点。它描述的是“平台自身在哪里、朝哪个方向”。当平台被吊装、重新固定后，机架坐标系相对世界坐标系的关系需要重新标定。
工具坐标系（Tool/TCP）固连在末端执行器上，原点即工具中心点（TCP），Z 轴通常沿工具接近方向。它决定了“平台末端拿着的工具，其作用点在哪里、指向何方”。
工件坐标系（Work/Object）固连在被加工或测量的工件上，原点常取工件的一个角点或定位基准。它让轨迹可以按“工件图纸坐标”编写，而不必关心工件被摆放在台面的哪个位置。
四者的关系可以概括为一条变换链：世界 → 机架 → 工具，以及世界 → 工件。控制器内部真正求解的，是工具坐标系与工件坐标系之间的相对位姿。
二、关节空间与笛卡尔空间的映射
多轴平台的运动描述存在两套语言。一套是关节空间：用各轴的角度或位移量 q = [θ₁, θ₂, …, θₙ] 描述平台状态，它直接对应电机编码器读数，是控制器真正下发的量。另一套是笛卡尔空间：用末端位姿 p = [x, y, z, rx, ry, rz] 描述工具在某个参考系下的位置与姿态，它更贴近人的直觉和工艺需求。
两套语言之间靠运动学映射连接。正运动学由关节量算出末端位姿，对给定结构是唯一确定的；逆运动学由目标位姿反求关节量，往往存在多组解，需要结合关节限位、行程余量和避障要求挑选。以常见的三轴直角坐标平台为例，若丝杠导程为 5 mm、电机每转 10000 脉冲，则单轴分辨率约为 0.0005 mm/脉冲，正解就是各轴位移的简单叠加；而六轴串联平台的正解则需按 DH 参数逐级相乘。
三、位姿描述与变换矩阵
工程上普遍用 4×4 齐次变换矩阵统一表达“旋转 + 平移”。一个位姿 T 可写成：
T = [ R t ] R: 3×3 旋转矩阵（姿态）
[ 0 1 ] t: 3×1 平移向量（位置）
例：工具在机架系下的位姿
B T_T = [ 1 0 0 300 ]
[ 0 1 0 120 ]
[ 0 0 1 80 ]
[ 0 0 0 1 ]
含义：TCP 位于机架系 (300, 120, 80) mm，姿态与机架系一致。姿态的表示方式有三种常见形式：旋转矩阵直观但冗余（9 个元素仅 3 个自由度）；欧拉角（如 ZYX 顺序的 rx, ry, rz）便于人读，但存在万向节死锁；四元数 (qw, qx, qy, qz) 无死锁、插值平滑，适合轨迹规划。控制器内部通常用矩阵或四元数运算，仅在示教界面显示欧拉角。
四、坐标变换的复合与方向约定
变换链的复合遵循“从右往左”的乘法顺序。若已知机架系到世界系的变换 ᵂT_B、工具系到机架系的变换 ᴮT_T，则工具在世界系下的位姿为 ᵂT_T = ᵂT_B · ᴮT_T。反过来，若要让工具在工件坐标系下到达目标位姿 ᵒT_T，则需先求工件系到世界系的变换 ᵂT_O，再计算 ᵒT_T = (ᵂT_O)⁻¹ · ᵂT_T。
五、一个可复现的坐标变换示例
假设某三轴平台机架系原点在世界系 (500, 200, 0) mm 处，无旋转；工具 TCP 在机架系下为 (300, 120, 80) mm，姿态绕 Z 轴旋转 90°。工件系原点在世界系 (800, 200, 0) mm 处，无旋转。求 TCP 在工件系下的位置。
步骤 1：ᵂT_T 位置 = (500+300, 200+120, 0+80) = (800, 320, 80) mm
步骤 2：ᵒT_T 位置 = ᵂT_T - ᵂT_O = (800-800, 320-200, 80-0)
= (0, 120, 80) mm
步骤 3：姿态绕 Z 转 90°，在工件系下仍为 Rz(90°)
判断依据：若工件系原点与 TCP 世界坐标的 X 分量相同，
则工件系下 X 应为 0，与步骤 2 结果一致，说明变换链正确。这个例子说明：坐标变换不是抽象数学，而是把“平台实际在哪、工具指向哪、工件摆在哪”三件事用矩阵串起来。标定的本质，就是把这些变换矩阵中的未知量测准；轨迹执行的本质，就是在这条变换链上做正解与逆解。