2. PSI 数学原理：公式推导与 KL 散度关系

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）的核心是量化两个概率分布之间的差异程度。在特征漂移监控场景中，这两个分布分别是期望分布（Expected Distribution）和实际分布（Actual Distribution）。PSI 的数学本质源于信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler Divergence），但通过对称化处理使其更适合工程应用。

2.1 从 KL 散度到 PSI 的推导

KL 散度衡量分布 P 相对于分布 Q 的信息损失，其定义为：

KL(P || Q) = Σ P(i) * ln( P(i) / Q(i) )

其中 P 为实际分布，Q 为期望分布。KL 散度具有非对称性：KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)。PSI 通过取两个方向 KL 散度的对称和来解决这一问题：

PSI = KL(P || Q) + KL(Q || P)
    = Σ P(i) * ln( P(i) / Q(i) ) + Σ Q(i) * ln( Q(i) / P(i) )
    = Σ [ P(i) - Q(i) ] * ln( P(i) / Q(i) )

最终得到 PSI 的标准计算公式：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) * ln( Actual_i / Expected_i )

其中 Actual_i 和 Expected_i 分别为第 i 个分箱中实际样本占比和期望样本占比。

2.2 分箱处理与离散化

连续型特征在计算 PSI 前必须进行分箱（Binning）。分箱方式直接影响 PSI 值的稳定性和可解释性：

2.3 PSI 与 KL 散度的关系矩阵

下表总结了 PSI 与 KL 散度在关键维度上的对比：

2.4 PSI 计算流程

实际计算 PSI 时遵循以下步骤：

1. 确定参考分布：选取训练集或历史稳定期的特征分布作为期望分布。
2. 分箱对齐：使用相同的分箱边界对期望分布和当前实际分布进行分箱。
3. 计算占比：分别计算每个分箱中样本数量占总样本数的比例。
4. 逐箱计算：对每个分箱计算 (Actual_i - Expected_i) * ln(Actual_i / Expected_i)。
5. 求和：将所有分箱的计算结果相加得到最终 PSI 值。

2.5 PSI 与 KL 散度的数学关系图

下图展示了从 KL 散度到 PSI 的推导路径，以及两者在对称性和应用场景上的核心差异：

2.6 PSI 的数学性质总结

• 非负性：PSI ≥ 0，当且仅当实际分布与期望分布完全一致时 PSI = 0。
• 对称性：PSI(P, Q) = PSI(Q, P)，克服了 KL 散度的非对称缺陷。
• 尺度敏感性：PSI 值随分箱数量增加而增大，建议分箱数控制在 5~20 之间。
• 无上界：理论上 PSI 可以无限大，但实际监控中通常关注 0~1 区间。
• 可分解性：PSI 可以分解为各分箱贡献之和，便于定位漂移来源。