4. PSI计算公式详解：期望分布与实际分布、分箱方法、PSI分段计算与汇总

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是评分卡监控中最核心的量化工具，用于衡量模型评分在时间维度上的分布偏移程度。本节将从公式拆解、分箱策略、分段计算到汇总输出，完整解析PSI的数学原理与工程实现。

4.1 PSI标准公式拆解

PSI的核心思想是比较两个分布——期望分布（Expected Distribution）与实际分布（Actual Distribution）——在每个分箱上的比例差异，并通过对数加权求和得到单一指标。标准公式如下：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)

其中：
- i = 第i个分箱（共N个分箱）
- Expected_i = 期望样本在第i箱中的占比（开发样本/基准样本）
- Actual_i = 实际样本在第i箱中的占比（监控样本/当前样本）
- ln = 自然对数

公式的直观含义：当实际分布与期望分布完全一致时，每个分箱的差值为0，PSI=0；差异越大，PSI值越高。该公式本质上是离散化后的KL散度对称化形式。

4.2 期望分布与实际分布的定义

注意事项：

• 期望分布通常使用开发样本的评分分布，而非全量拒绝样本（避免样本偏差）。
• 实际分布必须与期望分布使用相同的分箱边界，否则PSI计算无效。
• 当实际分布中出现某分箱比例为0时，公式中的ln(0)无定义，需做平滑处理（如加极小值ε=1e-6）。

4.3 分箱方法详解

分箱是PSI计算的前置步骤，分箱策略直接影响PSI的数值大小和业务解释性。常用的分箱方法有三种：

4.4 PSI分段计算与汇总

PSI的计算过程可以分解为四个步骤，每一步都有明确的数学操作和工程注意事项。

4.4.1 计算步骤

1. 确定分箱边界：基于期望分布，使用等频法（或其他方法）确定N个分箱的边界值。
2. 统计各箱占比：分别统计期望样本和实际样本在各箱中的数量，并计算占比。
3. 计算分段PSI：对每个分箱，计算 (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)。
4. 汇总总PSI：将所有分箱的分段PSI求和，得到最终PSI值。

4.4.2 计算示例（10箱等频）

4.4.3 PSI分段贡献分析

总PSI由各分箱的分段PSI累加得到，但不同分箱对总PSI的贡献度差异很大。通过分析分段贡献，可以定位漂移发生的具体分数区间。

4.5 PSI计算代码实现

以下为Python实现PSI计算的完整函数，包含平滑处理和分箱逻辑：

import numpy as np
import pandas as pd

def calculate_psi(expected, actual, bins=10, method='equal_freq', epsilon=1e-6):
    """
    计算群体稳定性指标(PSI)
    
    Parameters:
    -----------
    expected : array-like
        期望分布（开发样本）的评分数据
    actual : array-like
        实际分布（监控样本）的评分数据
    bins : int
        分箱数量
    method : str
        分箱方法：'equal_freq'（等频）, 'equal_width'（等距）
    epsilon : float
        平滑因子，防止log(0)
    
    Returns:
    --------
    psi : float
        总PSI值
    psi_table : DataFrame
        各分箱的详细计算结果
    """
    # 1. 基于期望分布确定分箱边界
    if method == 'equal_freq':
        # 等频分箱：按百分位数
        percentiles = np.linspace(0, 100, bins + 1)[1:-1]
        bin_edges = np.percentile(expected, percentiles)
        bin_edges = np.concatenate(([-np.inf], bin_edges, [np.inf]))
    elif method == 'equal_width':
        # 等距分箱
        min_val, max_val = expected.min(), expected.max()
        bin_edges = np.linspace(min_val, max_val, bins + 1)
        bin_edges[0] = -np.inf
        bin_edges[-1] = np.inf
    else:
        raise ValueError("method must be 'equal_freq' or 'equal_width'")
    
    # 2. 统计各箱占比
    expected_counts, _ = np.histogram(expected, bins=bin_edges)
    actual_counts, _ = np.histogram(actual, bins=bin_edges)
    
    expected_pct = expected_counts / len(expected)
    actual_pct = actual_counts / len(actual)
    
    # 3. 平滑处理（防止log(0)）
    expected_pct = np.clip(expected_pct, epsilon, 1 - epsilon)
    actual_pct = np.clip(actual_pct, epsilon, 1 - epsilon)
    
    # 4. 计算分段PSI
    psi_segment = (actual_pct - expected_pct) * np.log(actual_pct / expected_pct)
    
    # 5. 汇总总PSI
    psi_total = np.sum(psi_segment)
    
    # 6. 构建结果表格
    psi_table = pd.DataFrame({
        'bin': range(1, bins + 1),
        'expected_pct': expected_pct,
        'actual_pct': actual_pct,
        'diff': actual_pct - expected_pct,
        'log_ratio': np.log(actual_pct / expected_pct),
        'segment_psi': psi_segment
    })
    
    return psi_total, psi_table

# 使用示例
# psi_value, psi_df = calculate_psi(expected_scores, actual_scores, bins=10)
# print(f"总PSI: {psi_value:.5f}")
# print(psi_df)

4.6 PSI阈值与业务解读